Аллегория (математика) - Allegory (mathematics)

В математической области теория категорий, аллегория это категория который имеет некоторую структуру категории Rel из наборы и бинарные отношения между ними. Аллегории можно использовать как абстракцию категорий отношений, и в этом смысле теория аллегорий является обобщением алгебра отношений отношениям между разными сортами. Аллегории также полезны при определении и исследовании определенных конструкций в теории категорий, таких как точный доработки.

В этой статье мы принимаем соглашение о том, что морфизмы составлять справа налево, поэтому $RS$ означает "сначала сделай $S$ , тогда сделай $р$ ".

Определение

Аллегория - это категория в котором

каждый морфизм ${displaystyle Rcolon X o Y}$ связан с антиинволюция, т.е. морфизм ${displaystyle R ^ {circ} двоеточие Y o X}$ с ${displaystyle R ^ {circ circ} = R}$ и ${displaystyle (RS) ^ {circ} = S ^ {circ} R ^ {circ} {ext {;}}}$ и
каждая пара морфизмов ${displaystyle R, Scolon X o Y}$ с общим доменом / кодоменом связан с пересечение, т.е. морфизм ${displaystyle Rcap Scolon X o Y}$

все такое, что

пересечения идемпотент: ${displaystyle Rcap R = R,}$ коммутативный: ${displaystyle Rcap S = Scap R,}$ и ассоциативный: ${displaystyle (Rcap S) cap T = Rcap (Scap T);}$
антиинволюция распределяет над перекрестком: ${displaystyle (Rcap S) ^ {circ} = S ^ {circ} cap R ^ {circ};}$
композиция полудистрибутивна на пересечении: ${displaystyle R (Scap T) Subteq RScap RT}$ и ${displaystyle (Rcap S) Tsubseteq RTcap ST;}$ и
выполняется закон модульности: ${displaystyle RScap Tsubseteq (Rcap TS ^ {circ}) S.}$

Здесь мы сокращаем, используя порядок, определяемый пересечением: ${displaystyle Rsubseteq S}$ средства ${displaystyle R = Rcap S.}$

Первый пример аллегории - это категория множеств и отношений. В объекты этой аллегории - множества, а морфизм ${displaystyle X o Y}$ это бинарное отношение между $Икс$ и $Y$ . Состав морфизмов состав отношений, и антиинволюция ${displaystyle R}$ это обратное отношение ${displaystyle R ^ {circ}}$ : ${displaystyle yR ^ {circ} x}$ если и только если ${displaystyle xRy}$ . Пересечение морфизмов (теоретико-множественное) пересечение отношений.

Обычные категории и аллегории

Аллегории отношений в обычных категориях

В категории $C$ , а связь между объектами $Икс$ и $Y$ это охватывать морфизмов ${displaystyle Xgets R o Y}$ это совместно моник. Два таких пролета ${displaystyle Xgets S o Y}$ и ${displaystyle Xgets To Y}$ считаются эквивалентными, когда существует изоморфизм между $S$ и $Т$ которые заставляют все ездить; строго говоря, отношения определяются только с точностью до эквивалентности (это можно формализовать либо с помощью классы эквивалентности или используя бикатегории ). Если категория $C$ есть продукты, связь между $Икс$ и $Y$ это то же самое, что и мономорфизм в $Икс \times Y$ (или их класс эквивалентности). В присутствии откаты и надлежащий система факторизации, можно определить состав отношений. Сочинение ${displaystyle Xgets R o Ygets S o Z}$ обнаруживается при первом оттягивании коспана ${displaystyle R o Ygets S}$ а затем взяв совместно монический образ результирующего промежутка ${displaystyle Xgets Rgets ullet o S o Z.}$

Композиция отношений будет ассоциативной, если факторизационная система должным образом устойчива. В этом случае можно рассматривать категорию $Отн (C)$ , с теми же объектами, что и $C$ , но где морфизмы - это отношения между объектами. Отношения идентичности - это диагонали ${displaystyle X o X имеет значение X.}$

А обычная категория (категория с конечными пределами и изображениями, в которых покрытия устойчивы при откате) имеет стабильную регулярную систему факторизации epi / mono. Категория отношений для обычной категории всегда является аллегорией. Антиинволюция определяется поворотом источника / цели отношения, а пересечения - это пересечения подобъекты, вычисляется откатом.

Карты в аллегориях и таблицах

Морфизм $р$ в аллегории $А$ называется карта если он весь ${displaystyle (1subseteq R ^ {circ} R)}$ и детерминированный ${displaystyle (RR ^ {circ} подэтап 1).}$ Другими словами, карта - это морфизм, имеющий правый смежный в $А$ когда $А$ рассматривается, используя структуру локального порядка, как 2 категории. Карты в аллегории закрыты по идентичности и композиции. Таким образом, существует подкатегория $Карта(А)$ из $А$ с теми же объектами, но только с картами как морфизмами. Для обычной категории $C$ , существует изоморфизм категорий ${displaystyle Ccong operatorname {Map} (operatorname {Rel} (C)).}$ В частности, морфизм в $Карта (Rel (Набор))$ просто обычный установить функцию.

В аллегории морфизм ${displaystyle Rcolon X o Y}$ является табулированный парой карт ${displaystyle fcolon Z o X}$ и ${displaystyle gcolon Z o Y}$ если ${displaystyle gf ^ {circ} = R}$ и ${displaystyle f ^ {circ} fcap g ^ {circ} g = 1.}$ Аллегория называется табличный если каждый морфизм имеет табуляцию. Для обычной категории $C$ , аллегория $Отн (C)$ всегда табличный. С другой стороны, для любой табличной аллегории $А$ , категория $Карта(А)$ карт - это локально регулярная категория: у нее есть откаты, эквалайзеры, и изображения, устойчивые при откате. Этого достаточно, чтобы изучить отношения в $Карта(А)$ , и в этом случае ${displaystyle Acong operatorname {Rel} (operatorname {Map} (A)).}$

Единичные аллегории и регулярные категории карт

А единица измерения в аллегории объект $U$ для которого тождество является наибольшим морфизмом ${displaystyle U o U,}$ и так, что от любого другого объекта существует полное отношение к $U$ . Аллегория с единицей называется единый. Учитывая табличную аллегорию $А$ , категория $Карта(А)$ является регулярной категорией (имеет конечный объект ) если и только если $А$ является единым.

Более сложные виды аллегории

Дополнительные свойства аллегорий можно аксиоматизировать. Распределительные аллегории есть союз -подобная операция, которая ведется надлежащим образом, и разделение аллегорий есть обобщение операции деления алгебра отношений. Аллегории власти являются аллегориями распределительного деления с дополнительными powerset -подобная структура. Связь между аллегориями и обычными категориями может быть преобразована в связь между аллегориями власти и топы.