Формула Боггиоса - Boggios formula - Wikipedia

в математический поле теория потенциала, Формула богжо явная формула для Функция Грина для полигармонического Задача Дирихле на шаре радиуса 1. Он был открыт итальянским математиком. Томмазо Боджио.

Полигармоническая задача - найти функцию ты удовлетворение

${ Displaystyle (- Delta) ^ {м} и (х) = е (х)}$

куда м положительное целое число, и ${ displaystyle (- Delta)}$ представляет Оператор Лапласа. Функция Грина - это функция, удовлетворяющая

${ Displaystyle (- Delta) ^ {m} G (x, y) = delta (x-y)}$

куда ${ displaystyle delta}$ представляет Распределение дельты Дирака, а кроме того равно 0 на порядок м-1 на границе.

Богжо обнаружил, что функция Грина на шаре в п пространственные размеры

${ displaystyle G_ {m, n} (x, y) = C_ {m, n} | xy | ^ {2m-n} int _ {1} ^ { frac { left || x | y- { frac {x} {| x |}} right |} {| xy |}} (v ^ {2} -1) ^ {m-1} v ^ {1-n} dv}$

Постоянная ${ displaystyle C_ {m, n}}$ дан кем-то

${ displaystyle C_ {m, n} = { frac {1} {ne_ {n} 4 ^ {m-1} ((m-1)!) ^ {2}}},}$ куда ${ displaystyle e_ {n} = { frac { pi ^ { frac {n} {2}}} { Gamma (1 + { frac {n} {2}})}}}$

Источники

• Богжо, Томас (1905), "Sulle funzioni di Green d'ordine м" (PDF), Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 20, стр. 97–135, Дои:10.1007 / BF03014033
• Газзола, Филиппо; Грунау, Ганс-Кристоф; Sweers, Гвидо (2010), Полигармонические краевые задачи (PDF), Конспект лекций по математике, 1991, Берлин: Springer, ISBN  978-3-642-12244-6