Уравнение кристаллов - Chrystals equation - Wikipedia

В математика, Уравнение кристалла является нелинейным первого порядка обыкновенное дифференциальное уравнение, названный в честь математика Джордж Кристал, которые обсуждали единственное решение этого уравнения в 1896 г.[1] Уравнение читается как[2][3]

куда - константы, которые при решении , дает

Это уравнение является обобщением Уравнение Клеро поскольку оно сводится к уравнению Клеро при определенных условиях, указанных ниже.

Решение

Представляем трансформацию дает

Теперь уравнение разделимо, поэтому

Знаменатель в левой части можно разложить на множители, если решить корни уравнения и корни , следовательно

Если , решение

куда - произвольная постоянная. Если , () то решение

Когда один из корней равен нулю, уравнение сводится к Уравнение Клеро и в этом случае получается параболическое решение: и решение

Вышеупомянутое семейство парабол охвачено параболой , поэтому эта огибающая парабола является единственное решение.

Рекомендации

  1. ^ Кристал Дж., "О p-дискриминанте дифференциального уравнения первого порядка и о некоторых моментах в общей теории связанных с ним огибающих", Пер. Рой. Soc. Един, т. 38, 1896, стр. 803–824.
  2. ^ Дэвис, Гарольд Тайер. Введение в нелинейные дифференциальные и интегральные уравнения. Курьерская корпорация, 1962 год.
  3. ^ Инс, Э. Л. (1939). Обыкновенные дифференциальные уравнения, Лондон (1927). Google ученый.