Выпуклость в экономике - Convexity in economics

Часть серии по
Экономика
  • Эмблема-money.svg Деловой портал
  • Купюры и монеты.svg Денежный портал

Выпуклость это важная тема в экономика.[1] в Модель Эрроу – Дебре из общее экономическое равновесие, агенты имеют выпуклые бюджетные наборы и выпуклые предпочтения: При равновесных ценах бюджет опоры гиперплоскости лучшее достижимое кривая безразличия.[2] В функция прибыли это выпуклый сопряженный из функция стоимости.[1][2] Выпуклый анализ стандартный инструмент для анализа экономики учебников.[1] Невыпуклые явления в экономике изучались с помощью негладкий анализ, который обобщает выпуклый анализ.[3]

Предварительные мероприятия

Экономика зависит от следующих определений и результатов выпуклая геометрия.

Реальные векторные пространства

Illustration of a convex set, which looks somewhat like a disk: A (green) convex set contains the (black) line segment joining the points x and y. The entire line segment lies in the interior of the convex set.
А выпуклый набор охватывает то отрезок соединяя любые две свои точки.
Illustration of a non‑convex set, which looks somewhat like a boomerang or cashew nut. A (green) non‑convex set contains the (black) line segment joining the points x and y. Part of the line segment lies outside of the (green) non‑convex set.
Невыпуклый набор не может крышка точка в некоторых отрезок присоединяясь к двум своим точкам.
Сегменты линии тест выпуклость.

А настоящий векторное пространство из двух размеры может быть дан Декартова система координат в котором каждая точка идентифицируется списком из двух действительных чисел, называемых «координатами», которые условно обозначаются Икс и у. Две точки в декартовой плоскости могут быть добавлен по координатам

(Икс1, у1) + (Икс2, у2) = (Икс1+Икс2, у1+у2);

далее точка может быть умноженный по каждому действительному числу λ по координатам

λ (Икс, у) = (λx, λy).

В более общем смысле, любое реальное векторное пространство (конечной) размерности D можно рассматривать как набор из всех возможных списков D действительные числа { (v1, v2, . . . , vD) } вместе с двумя операции: векторное сложение и умножение на действительное число. Для конечномерных векторных пространств каждая операция сложения векторов и умножения действительных чисел может быть определена покоординатно, следуя примеру декартовой плоскости.

Выпуклые множества

A picture of a smoothed triangle, like a triangular tortilla-chip or a triangular road-sign. Каждый из трех закругленных углов нарисован красной кривой. Остальные внутренние точки треугольной формы заштрихованы синим цветом.
в выпуклый корпус красного набора каждая синяя точка является выпуклое сочетание некоторых красных точек.

В реальном векторном пространстве набор определяется как выпуклый если для каждой пары своих точек каждая точка на отрезок что присоединяется к ним покрытый по набору. Например, твердый куб выпуклый; однако все, что является полым или помятым, например, полумесяц форма, невыпуклая. Тривиально, то пустой набор выпуклый.

Более формально набор Q выпукло, если для всех точек v0 и v1 в Q и для каждого реального числа λ в единичный интервал [0,1], смысл

(1 − λ) v0 + λv1

это член изQ.

К математическая индукция, множество Q выпукло тогда и только тогда, когда каждое выпуклое сочетание членов Q также принадлежит Q. По определению выпуклое сочетание индексированного подмножества {v0, v1, . . . , vD} векторного пространства - это любое средневзвешенное  λ0v0 + λ1v1 + . . . + λDvD, для некоторого индексированного набора неотрицательных действительных чисел {λd} удовлетворяющий уравнение λ0 + λ1 + . . . + λD = 1.

Из определения выпуклого множества следует, что пересечение из двух выпуклых множеств является выпуклым множеством. В более общем смысле, пересечение семейства выпуклых множеств является выпуклым множеством.

Выпуклый корпус

Для каждого подмножества Q реального векторного пространства, его выпуклый корпус Конв (Q) это минимальный выпуклое множество, содержащее Q. Таким образом, Conv (Q) является пересечением всех выпуклых множеств, которые крышка Q. Выпуклая оболочка множества может быть эквивалентно определена как множество всех выпуклых комбинаций точек вQ.

Двойственность: пересекающиеся полупространства

А выпуклый набор (розовым), опорная гиперплоскость (пунктирная линия) и полупространство, ограниченное гиперплоскостью, содержащей (светло-голубым).

Поддерживающая гиперплоскость это концепция в геометрия. А гиперплоскость делит пространство на два полупространства. Гиперплоскость называется поддерживать а набор в настоящий п-Космос если он соответствует обоим из следующих требований:

  • полностью содержится в одном из двух закрыто полупространства, определяемые гиперплоскостью
  • имеет хотя бы одну точку на гиперплоскости.

Здесь замкнутое полупространство - это полупространство, включающее гиперплоскость.

Поддержка теоремы о гиперплоскости

Множество выпукло может иметь более чем одну опорную гиперплоскость в данной точке на ее границе.

Этот теорема заявляет, что если закрытый выпуклый набор в и это точка на граница из то существует опорная гиперплоскость, содержащая

Гиперплоскость в теореме может быть не уникальной, как показано на втором рисунке справа. Если закрытый набор невыпукло, утверждение теоремы неверно во всех точках границы как показано на третьем рисунке справа.

Опорная гиперплоскость, содержащая заданную точку на границе может не существовать, если не выпуклый.

Экономика

Потребитель предпочитает вектор товаров (QИкс, Qу) по сравнению с другими доступными векторами. При этом оптимальном векторе бюджетная линия поддерживает кривая безразличия  я2.

Оптимальная корзина товаров возникает там, где потребитель выпуклый набор предпочтений является поддержанный бюджетным ограничением, как показано на диаграмме. Если набор предпочтений является выпуклым, то набор оптимальных решений потребителя представляет собой выпуклое множество, например, уникальную оптимальную корзину (или даже линейный сегмент оптимальных корзин).

Для простоты предположим, что предпочтения потребителя можно описать вспомогательная функция это непрерывная функция, откуда следует, что наборы предпочтений находятся закрыто. (Значение термина «замкнутое множество» объясняется ниже, в подразделе, посвященном приложениям оптимизации.)

Невыпуклость

Основная статья: Невыпуклость (экономика)
Смотрите также: Лемма Шепли – Фолкмана.
Когда предпочтения потребителей имеют вогнутость, линейные бюджеты не обязательно поддерживают равновесие: потребители могут переключаться между распределениями.

Если набор предпочтений не является выпуклым, то некоторые цены образуют бюджет, поддерживающий два различных оптимальных решения о потреблении. Например, мы можем представить, что для зоопарков лев стоит столько же, сколько орел, и, кроме того, бюджета зоопарка хватит на одного орла или одного льва. Можно также предположить, что смотритель зоопарка считает любое животное равноценным. В этом случае зоопарк покупал либо одного льва, либо одного орла. Конечно, современный зоотехник не захочет покупать половину орла и половина льва (или грифон )! Таким образом, предпочтения современного зоотехника невыпуклые: хранитель зоопарка предпочитает иметь любое животное, а не любую строго выпуклую их комбинацию.

Невыпуклые множества были включены в теории общего экономического равновесия,[4] из провалы рынка,[5] и из общественная экономика.[6] Эти результаты описаны в учебниках для выпускников в микроэкономика,[7] теория общего равновесия,[8] теория игры,[9] математическая экономика,[10]и прикладная математика (для экономистов).[11] В Лемма Шепли – Фолкмана. результаты показывают, что невыпуклости совместимы с приблизительным равновесием на рынках с большим количеством потребителей; эти результаты также применимы к производственная экономика со многими маленькими фирмы.[12]

В "олигополии "(на рынках доминируют несколько производителей), особенно в"монополии "(на рынках доминирует один производитель), неравномерность остается важной.[13] Обеспокоенность по поводу того, что крупные производители используют рыночную власть, фактически положила начало литературе о невыпуклых наборах, когда Пьеро Сраффа писали о фирмах с увеличением вернуться к масштабу в 1926 г.,[14] после которого Гарольд Хотеллинг написал о ценообразование по предельным затратам в 1938 г.[15] И Сраффа, и Хотеллинг осветили рыночная власть производителей без конкурентов, что явно стимулирует литературу о предложениях в экономике.[16]Невыпуклые множества возникают также при экологические товары (и другие внешние эффекты ),[17][18] с информационная экономика,[19] и с фондовые рынки[13] (и другие неполные рынки ).[20][21] Такие приложения продолжали мотивировать экономистов к изучению невыпуклых множеств.[22]

Негладкий анализ

Экономисты все чаще изучают невыпуклые множества с негладкий анализ, который обобщает выпуклый анализ. «Невыпуклость [как] в производстве, так и в потреблении ... требовала математических инструментов, выходящих за рамки выпуклости, и дальнейшее развитие должно было ждать изобретения негладкого исчисления» (например, Фрэнсиса Кларка местно Липшиц исчисление), как описано Rockafellar & Wets (1998)[23] и Мордухович (2006),[24] в соответствии с Хан (2008).[3] Коричневый (1995, стр. 1967–1968). писали, что «главным методологическим новшеством в анализе общего равновесия фирм с правилами ценообразования» было «введение методов негладкого анализа как [синтеза] глобального анализа (дифференциальная топология) и [из] выпуклого анализа. " В соответствии с Коричневый (1995, п. 1966), «Негладкий анализ расширяет локальную аппроксимацию многообразий касательными плоскостями [и расширяет] аналогичную аппроксимацию выпуклых множеств касательными конусами на множества», которые могут быть негладкими или невыпуклыми ..[25] Экономисты также использовали алгебраическая топология.[26]

Смотрите также

Примечания

  1. ^ а б c Ньюман (1987c)
  2. ^ а б Ньюман (1987d)
  3. ^ а б Хан, М. Али (2008). "Идеальное соревнование". В Durlauf, Steven N .; Блюм, Лоуренс Э., изд. (ред.). Новый экономический словарь Пэлгрейва (Второе изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 354–365. Дои:10.1057/9780230226203.1267. ISBN  978-0-333-78676-5.
  4. ^ Страницы 392–399 и страница 188: Эрроу, Кеннет Дж.; Хан, Фрэнк Х. (1971). «Приложение B: Выпуклые и связанные множества». Общий конкурентный анализ. Тексты по математической экономике [Учебники по экономике]. Сан-Франциско: Holden-Day, Inc. [Северная Голландия]. стр.375–401. ISBN  978-0-444-85497-1. МИСТЕР  0439057.
    Страницы 52–55 с приложениями на страницах 145–146, 152–153 и 274–275: Мас-Колелл, Андреу (1985). «1.L Средние наборы». Теория общего экономического равновесия: A Дифференцируемый Подход. Монографии эконометрического общества. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-26514-0. МИСТЕР  1113262.
    Теорема C (6) на стр. 37 и приложения на стр. 115–116, 122 и 168: Хильденбранд, Вернер (1974). Ядро и равновесие большой экономики. Принстонские исследования в области математической экономики. Издательство Принстонского университета. С. viii + 251. ISBN  978-0-691-04189-6. МИСТЕР  0389160.
  5. ^ Страницы 112–113 в разделе 7.2 «Выпуклость по числам» (и вообще стр. 107–115): Салани, Бернар (2000). «7 невыпуклостей». Микроэкономика сбоев рынка (Английский перевод (1998) французского Микроэкономика: Les défaillances du marché (Экономика, Париж) изд.). MIT Press. С. 107–125. ISBN  978-0-262-19443-3.
  6. ^ Страницы 63–65: Лаффон, Жан-Жак (1988). «3 невыпуклости». Основы государственной экономики. Массачусетский технологический институт. ISBN  978-0-262-12127-9.
  7. ^ Вариан, Хэл Р. (1992). «21.2 Выпуклость и размер». Микроэкономический анализ (3-е изд.). W. W. Norton & Company. стр.393–394. ISBN  978-0-393-95735-8. МИСТЕР  1036734.
    Стр. 628: Мас – Колелл, Андреу; Whinston, Michael D .; Грин, Джерри Р. (1995). «17.1 Большие экономики и невыпуклости». Микроэкономическая теория. Издательство Оксфордского университета. С. 627–630. ISBN  978-0-19-507340-9.
  8. ^ Страница 169 в первом издании: Старр, Росс М. (2011). "8 Выпуклые множества, теоремы об отделении и невыпуклые множества врN". Теория общего равновесия: введение (Второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. Дои:10.1017 / CBO9781139174749. ISBN  978-0-521-53386-7. МИСТЕР  1462618.
    У Элликсона, страница xviii, и особенно глава 7 «Вальрас встречает Нэша» (особенно раздел 7.4 «Невыпуклость», страницы 306–310 и 312, а также 328–329) и главу 8 «Что такое конкуренция?» (страницы 347 и 352): Элликсон, Брайан (1994). Конкурентное равновесие: теория и приложения. Издательство Кембриджского университета. п. 420. Дои:10.2277/0521319889. ISBN  978-0-521-31988-1.
  9. ^ Теорема 1.6.5 на страницах 24–25: Итииси, Тацуро (1983). Теория игр для экономического анализа. Экономическая теория, эконометрика и математическая экономика. Нью-Йорк: Academic Press, Inc. [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers]. с. х + 164. ISBN  978-0-12-370180-0. МИСТЕР  0700688.
  10. ^ Страницы 127 и 33–34: Касселс, Дж. У. С. (1981). «Приложение А Выпуклые множества». Экономика для математиков. Серия лекций Лондонского математического общества. 62. Кембридж, Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. С. xi + 145. ISBN  978-0-521-28614-5. МИСТЕР  0657578.
  11. ^ Страницы 93–94 (особенно пример 1.92), 143, 318–319, 375–377 и 416: Картер, Майкл (2001). Основы математической экономики. MIT Press. С. xx + 649. ISBN  978-0-262-53192-4. МИСТЕР  1865841.
    Стр. 309: Мур, Джеймс С. (1999). Математические методы экономической теории: Том.я. Исследования по экономической теории. 9. Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 414. Дои:10.1007/978-3-662-08544-8. ISBN  978-3-540-66235-8. МИСТЕР  1727000.
    Страницы 47–48: Флоренцано, Моник; Ле Ван, Куонг (2001). Конечномерная выпуклость и оптимизация. Исследования по экономической теории. 13. в сотрудничестве с Паскалем Гурделем. Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 154. Дои:10.1007/978-3-642-56522-9. ISBN  978-3-540-41516-9. МИСТЕР  1878374. S2CID  117240618.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)
  12. ^ Экономисты изучали невыпуклые множества с помощью продвинутой математики, в частности дифференциальная геометрия и топология, Категория Бэра, мера и теория интеграции, и эргодическая теория: Трокель, Вальтер (1984). Рыночный спрос: анализ крупных экономик с невыпуклыми предпочтениями. Конспект лекций по экономике и математическим системам. 223. Берлин: Springer-Verlag. С. viii + 205. Дои:10.1007/978-3-642-46488-1. ISBN  978-3-540-12881-6. МИСТЕР  0737006.
  13. ^ а б Страница 1: Геснери, Роджер (1975). «Оптимальность по Парето в невыпуклой экономике». Econometrica. 43 (1): 1–29. Дои:10.2307/1913410. JSTOR  1913410. МИСТЕР  0443877. (Геснери, Роджер (1975). «Опечатки». Econometrica. 43 (5–6): 1010. Дои:10.2307/1911353. JSTOR  1911353. МИСТЕР  0443878.)
  14. ^ Сраффа, Пьеро (1926). «Законы отдачи в условиях конкуренции». Экономический журнал. 36 (144): 535–550. Дои:10.2307/2959866. JSTOR  2959866. S2CID  6458099.
  15. ^ Хотеллинг, Гарольд (Июль 1938 г.). «Общее благосостояние в связи с проблемами налогообложения, железнодорожных и коммунальных тарифов». Econometrica. 6 (3): 242–269. Дои:10.2307/1907054. JSTOR  1907054.
  16. ^ Страницы 5–7: Квинзи, Мартина (1992). Повышение отдачи и эффективности (Переработанный перевод (1988 г.) Rendements croissants et efficacitéconomique. Paris: Editions du Centre National de la Recherche Scientifique ed.). Нью-Йорк: Издательство Оксфордского университета. С. viii + 165. ISBN  978-0-19-506553-4.
  17. ^ Страницы 106, 110–137, 172 и 248: Баумоль, Уильям Дж.; Оутс, Уоллес Э. (1988). «8 Вредоносных экстерналий и невыпуклостей в постановке». Теория экологической политики. при участии В. С. Бавы и Дэвида Ф. Брэдфорда (второе изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. x + 299. Дои:10.2277/0521311128. ISBN  978-0-521-31112-0.
  18. ^ Старрет, Дэвид А. (1972). «Фундаментальные невыпуклости в теории экстерналий». Журнал экономической теории. 4 (2): 180–199. Дои:10.1016/0022-0531(72)90148-2. МИСТЕР  0449575.
    Старретт обсуждает невыпуклость в своем учебнике по общественная экономика (страницы 33, 43, 48, 56, 70–72, 82, 147 и 234–236): Старрет, Дэвид А. (1988). Основы общественной экономики. Кембриджские экономические справочники. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN  9780521348010. невыпуклые ИЛИ невыпуклости.
  19. ^ Раднер, Рой (1968). «Конкурентное равновесие в условиях неопределенности». Econometrica. 36 (1): 31–53. Дои:10.2307/1909602. JSTOR  1909602.
  20. ^ Page 270: Дрез, Жак Х. (1987). «14 Инвестиции в частной собственности: оптимальность, равновесие и стабильность». В Drèze, J.H. (ред.). Очерки экономических решений в условиях неопределенности. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 261–297. Дои:10.1017 / CBO9780511559464. ISBN  978-0-521-26484-6. МИСТЕР  0926685. (Первоначально опубликовано как Дрез, Жак Х. (1974). «Инвестиции в частной собственности: оптимальность, равновесие и стабильность». В Drèze, J.H. (ред.). Распределение в условиях неопределенности: равновесие и оптимальность. Нью-Йорк: Вили. С. 129–165.)
  21. ^ Стр. 371: Мэджилл, Майкл; Квинзи, Мартина (1996). «6 Производство в финансовой экономике, Раздел 31 Партнерства». Теория неполных рынков. Кембридж, Массачусетс: MIT Press. С. 329–425.
  22. ^ Мас-Колелл, А. (1987). «Невыпуклость» (PDF). В Итуэлле, Джон; Милгейт, Мюррей; Ньюман, Питер (ред.). Новый Пэлгрейв: экономический словарь (первое изд.). Пэлгрейв Макмиллан. С. 653–661. Дои:10.1057/9780230226203.3173. ISBN  9780333786765.
  23. ^ Рокафеллар, Р. Тиррелл; Мокрый, Роджер Джей-Би (1998). Вариационный анализ. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Основные принципы математических наук]. 317. Берлин: Springer-Verlag. С. xiv + 733. Дои:10.1007/978-3-642-02431-3. ISBN  978-3-540-62772-2. МИСТЕР  1491362. S2CID  198120391.
  24. ^ Глава 8 «Приложения к экономике», особенно Раздел 8.5.3 «Ввод невыпуклости» (и оставшаяся часть главы), особенно страница 495:
    Мордухович, Борис С. (2006). Вариационный анализ и обобщенная дифференциацияII: Приложения. Серия Grundlehren (Основные принципы математических наук). 331. Springer. стр. i – xxii и 1–610. МИСТЕР  2191745.
  25. ^ Браун, Дональд Дж. (1991). «36 Анализ равновесия с невыпуклыми технологиями». В Хильденбранд, Вернер; Sonnenschein, Hugo (ред.). Справочник по математической экономике, ТомIV. Справочники по экономике. 1. Амстердам: Издательство Северной Голландии, стр. 1963–1995 [1966]. Дои:10.1016 / S1573-4382 (05) 80011-6. ISBN  0-444-87461-5. МИСТЕР  1207195.
  26. ^ Чичильнский, Г. (1993). «Пересекающиеся семейства множеств и топология конусов в экономике» (PDF). Бюллетень Американского математического общества. Новая серия. 29 (2): 189–207. arXiv:математика / 9310228. Bibcode:1993математика ..... 10228C. CiteSeerX  10.1.1.234.3909. Дои:10.1090 / S0273-0979-1993-00439-7. МИСТЕР  1218037.

Рекомендации