Конвей – Максвелл – биномПараметры | ![{ displaystyle - infty < nu < infty}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9d432a66f193994860329d52949777b5687bacc) |
---|
Поддерживать | ![{ Displaystyle х в {0,1,2, точки, п }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a01e9af8a2164958e4ea10d8c816e7f703755445) |
---|
PMF | ![{ displaystyle { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {x}} ^ { nu} p ^ {j} (1-p) ^ {nx} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25a777d401c017b92f42914b0205e9e391fd42e5) |
---|
CDF | ![{ Displaystyle сумма _ {я = 0} ^ {х} Pr (X = я)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4156ea05351413673e30ebcfccb25fcfae6bbca7) |
---|
Иметь в виду | Нет в списке |
---|
Медиана | Нет закрытой формы |
---|
Режим | См. Текст |
---|
Дисперсия | Нет в списке |
---|
Асимметрия | Нет в списке |
---|
Бывший. эксцесс | Нет в списке |
---|
Энтропия | Нет в списке |
---|
MGF | См. Текст |
---|
CF | См. Текст |
---|
В теория вероятности и статистика, то Конвей – Максвелл – бином (CMB) распределение - это трехпараметрическое дискретное распределение вероятностей, которое обобщает биномиальное распределение аналогично тому, как Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона. обобщает распределение Пуассона. Распределение реликтового излучения можно использовать для моделирования как положительной, так и отрицательной связи между Бернулли слагаемые ,.[1][2]
В распределение был введен Шумели и др. (2005),[1] и название Конвея – Максвелла – биномиальное распределение было независимо введено Кадейном (2016) [2] и Дейли и Гонт (2016).[3]
Вероятностная функция масс
Биномиальное распределение Конвея – Максвелла (CMB) имеет функция массы вероятности
![{ displaystyle Pr (Y = j) = { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {j}} ^ { nu} p ^ {j} ( 1-p) ^ {nj} ,, qquad j in {0,1, ldots, n },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d530bbce69d9418a652573dbec68cd636a84dbb)
куда
,
и
. В нормализующая константа
определяется
![{ displaystyle C_ {n, p, nu} = sum _ {i = 0} ^ {n} { binom {n} {i}} ^ { nu} p ^ {i} (1-p) ^ {ni}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e626b0a67a841597797bebf4f52385f926367d)
Если случайная переменная
имеет указанную выше функцию масс, то мы пишем
.
Дело
обычное биномиальное распределение
.
Связь с распределением Конвея – Максвелла – Пуассона.
Следующая связь между случайными величинами Конвея – Максвелла – Пуассона (CMP) и CMB [1] обобщает известный результат о пуассоновских и биномиальных случайных величинах. Если
и
находятся независимый, тогда
.
Сумма возможных ассоциированных случайных величин Бернулли
Случайная величина
может быть написано [1] как сумма обмениваемый Случайные величины Бернулли
удовлетворение
![{ Displaystyle Pr (Z_ {1} = z_ {1}, ldots, Z_ {n} = z_ {n}) = { frac {1} {C_ {n, p, nu}}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} p ^ {k} (1-p) ^ {nk},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8559c9150e932c9a5ecc8e164776fe9b89892a2)
куда
. Обратите внимание, что
в общем, если только
.
Производящие функции
Позволять
![{ displaystyle T (x, nu) = sum _ {k = 0} ^ {n} x ^ {k} { binom {n} {k}} ^ { nu}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78493c0a5d36edfa388818a02ff50f25d1fdba65)
Затем функция, производящая вероятность, функция, производящая момент и характеристическая функция даются соответственно:[2]
![{ Displaystyle G (t) = { гидроразрыва {T (TP / (1-p), nu)} {T (p (1-p), nu)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23c5aabb23cbb6daf7b9a5cb63005711731ff6f8)
![{ Displaystyle M (T) = { гидроразрыва {T ( mathrm {e} ^ {t} p / (1-p), nu)} {T (p (1-p), nu)}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5c4896ce3f8258eefb35475562945e38607caa8e)
![{ Displaystyle varphi (t) = { гидроразрыва {T ( mathrm {e} ^ { mathrm {i} t} p / (1-p), nu)} {T (p (1-p) , nu)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea7b56a31d36ca92afd279599984f13c45fcdb6b)
Моменты
Для общего
, не существует выражений в закрытой форме для моменты распределения CMB. Следующие аккуратные формула доступен, однако.[3] Позволять
обозначить падающий факториал. Позволять
, куда
. потом
![{ displaystyle operatorname {E} [((Y) _ {r}) ^ { nu}] = { frac {C_ {nr, p, nu}} {C_ {n, p, nu}} } ((n) _ {r}) ^ { nu} p ^ {r} ,,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8955a48a7ec9075664e225fcb1e4cc55f83e545d)
за
.
Режим
Позволять
и определить
![{ displaystyle a = { frac {n + 1} {1+ left ({ frac {1-p} {p}} right) ^ {1 / nu}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7a77603e3b777cc1052ab2821bf9cd7df738b6f9)
Тогда Режим из
является
если
не является целое число. В противном случае режимы
находятся
и
.[3]
Характеристика Штейна
Позволять
, и предположим, что
таково, что
и
. потом [3]
![{ displaystyle operatorname {E} [p (n-Y) ^ { nu} f (Y + 1) - (1-p) Y ^ { nu} f (Y)] = 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f97a7936458181eee3284350aa0024734257338)
Аппроксимация распределением Конвея – Максвелла – Пуассона.
Исправить
и
и разреши
потом
сходится в раздаче
распространение как
.[3] Этот результат обобщает классическое пуассоновское приближение биномиального распределения.
Биномиальное распределение Конвея – Максвелла – Пуассона.
Позволять
- случайные величины Бернулли с совместное распределение данный
![{ Displaystyle Pr (X_ {1} = x_ {1}, ldots, X_ {n} = x_ {n}) = { frac {1} {C_ {n} '}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} prod _ {j = 1} ^ {n} p_ {j} ^ {x_ {j}} (1-p_ {j}) ^ {1-x_ {j} },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1c29bc4fe04360194f87dd195f5282edc7dc6405)
куда
и нормирующая постоянная
дан кем-то
![{ displaystyle C_ {n} '= sum _ {k = 0} ^ {n} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} sum _ {A in F_ {k}} prod _ {i in A} p_ {i} prod _ {j in A ^ {c}} (1-p_ {j}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae768497d7a72c786d2ecf088380819c8275fa19)
куда
![{ Displaystyle F_ {k} = left {A substeq {1, ldots, n }: | A | = k right }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b9efb16db71fa37f4d992939354c683c22b50820)
Позволять
. потом
имеет функцию массы
![{ Displaystyle Pr (W = к) = { гидроразрыва {1} {C_ {n} '}} { binom {n} {k}} ^ { nu -1} sum _ {A in F_ {k}} prod _ {i in A} p_ {i} prod _ {j in A ^ {c}} (1-p_ {j}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e1b5b3ba0a7b29a7f501c3886bb9a9a87c4f996)
за
. Это распределение обобщает Биномиальное распределение Пуассона способом, аналогичным обобщениям CMP и CMB пуассоновского и биномиального распределений. Поэтому такая случайная величина называется [3] следовать биномиальному распределению Конвея – Максвелла – Пуассона (CMPB). Это не следует путать с довольно неудачной терминологией Конвея – Максвелла – Пуассона – бинома, которая использовалась [1] для распределения CMB.
Дело
- обычное биномиальное распределение Пуассона и случай
это
распределение.
Рекомендации
- ^ а б c d е Шмуэли Г., Минка Т., Кадане Дж. Б., Борле С., Боутрайт П. Б. «Полезное распределение для подгонки дискретных данных: возрождение распределения Конвея – Максвелла – Пуассона». Журнал Королевского статистического общества: Серия C (Прикладная статистика) 54.1 (2005): 127–142.[1]
- ^ а б c Кадане, Дж. Б. «Суммы возможных связанных переменных Бернулли: биномиальное распределение Конвея – Максвелла». Байесовский анализ 11 (2016): 403–420.
- ^ а б c d е ж Дейли Ф. и Гонт Р. «Распределение Конвея – Максвелла – Пуассона: теория распределений и приближение». Латиноамериканский журнал вероятностей и математической статистики ALEA 13 (2016): 635–658.