Векторный дифференциальный оператор
Эта статья об использовании del в математике. Для получения информации о самом символе см.
набла символ.
Del, или набла, является оператор используется в математике, в частности в векторное исчисление, как вектор дифференциальный оператор, обычно представленные набла символ ∇. Применительно к функция определено на одномерный домен, он обозначает его стандарт производная как определено в исчисление. Применительно к полю (функции, определенной в многомерной области), он может обозначать градиент (местами самый крутой склон) скалярное поле (или иногда векторное поле, как в Уравнения Навье – Стокса ), расхождение векторного поля или завиток (вращение) векторного поля в зависимости от способа его применения.
Строго говоря, del - это не конкретный оператор, а удобный математическая запись для этих трех операторов, что делает многие уравнения легче писать и запоминать. Символ del можно интерпретировать как вектор частная производная операторов, и его три возможных значения - градиент, дивергенция и завиток - можно формально рассматривать как товар со скаляром, a скалярное произведение, а перекрестное произведение соответственно дель "оператор" с полем. Эти официальные продукты не обязательно ездить с другими операторами или продуктами. Эти три использования, подробно описанные ниже, резюмируются как:
- Градиент:
![{ displaystyle operatorname {grad} f = nabla f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a38180a41e74e85359ef2155baaab943962707)
- Расхождение:
![{ displaystyle operatorname {div} { vec {v}} = nabla cdot { vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/892fdb31d7b04c73fb367ab6b855af9258d4e108)
- Завиток:
![{ displaystyle Operatorname {curl} { vec {v}} = nabla times { vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57f034d972fd694a807ee9b8427ca6b71667b831)
Определение
в Декартова система координат рп с координатами
и стандартная основа
, del определяется в терминах частная производная операторы как
![{ displaystyle nabla = sum _ {i = 1} ^ {n} { vec {e}} _ {i} { partial over partial x_ {i}} = left ({ partial over partial x_ {1}}, ldots, { partial over partial x_ {n}} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fde76de5a0a0073860784255924efd58b5de420)
В трехмерный Декартова система координат р3 с координатами
и стандартный базис или единичные векторы осей
, del записывается как
![{ displaystyle nabla = { vec {e}} _ {x} { partial over partial x} + { vec {e}} _ {y} { partial over partial y} + { vec {e}} _ {z} { partial over partial z} = left ({ partial over partial x}, { partial over partial y}, { partial over partial z }правильно)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9244dc33776deaaf6ca4f07d1e3d991c47b2d3c0)
Del также может быть выражено в других системах координат, см. Например del в цилиндрических и сферических координатах.
Обозначения использования
Del используется как сокращенная форма для упрощения многих длинных математических выражений. Чаще всего используется для упрощения выражений для градиент, расхождение, завиток, производная по направлению, и Лапласиан.
Градиент
Векторная производная от a скалярное поле
называется градиент, и его можно представить как:
![operatorname {grad} f = { partial f over partial x} { vec e} _ {x} + { partial f over partial y} { vec e} _ {y} + { partial f over partial z} { vec e} _ {z} = nabla f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e0f87db9f98911e06d5a4934d618635bc283ece)
Он всегда указывает на направление наибольшего увеличения
, и у него есть величина равняется максимальной скорости роста в данной точке - точно так же, как стандартная производная. В частности, если холм определяется как функция высоты над плоскостью
, градиент в заданном месте будет вектором в плоскости xy (визуализируемой в виде стрелки на карте), указывающим в самом крутом направлении. Величина уклона - это величина самого крутого наклона.
В частности, это обозначение является мощным, потому что правило градиентного произведения очень похоже на случай 1d-производной:
![набла (е ж) = е набла г + г набла е](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d27f6e61a59a516822d5fab9c8adbf3b4fe2612)
Однако правила для точечные продукты не оказываются простыми, о чем свидетельствуют:
![nabla ( vec u cdot vec v) = ( vec u cdot nabla) vec v + ( vec v cdot nabla) vec u + vec u times ( nabla times vec v) + vec v times ( nabla times vec u)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a3f6b24a10b45fc83b1b78a680fa0032f8cb7d6)
Расхождение
В расхождение из векторное поле
это скаляр функция, которая может быть представлена как:
![operatorname {div} { vec v} = { partial v_ {x} over partial x} + { partial v_ {y} over partial y} + { partial v_ {z} over partial z} = набла cdot { vec v}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe2147d89233aa200661e88c2265535f1a69d9ec)
Расхождение - это примерно мера увеличения векторного поля в направлении, которое оно указывает; но точнее, это мера тенденции поля сходиться к точке или отталкиваться от нее.
Сила обозначения del демонстрируется следующим правилом произведения:
![{ displaystyle nabla cdot (е { vec {v}}) = ( nabla f) cdot { vec {v}} + f ( nabla cdot { vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f5ad3a4f748ce959d923cbd3c6268d24cd71342)
Формула для векторный продукт немного менее интуитивно понятен, потому что этот продукт не коммутативен:
![{ displaystyle nabla cdot ({ vec {u}} times { vec {v}}) = ( nabla times { vec {u}}) cdot { vec {v}} - { vec {u}} cdot ( nabla times { vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75acf5c28e9df3a404546a7193e3181f05710f95)
Завиток
В завиток векторного поля
это вектор функция, которая может быть представлена как:
![{ displaystyle operatorname {curl} { vec {v}} = left ({ partial v_ {z} over partial y} - { partial v_ {y} over partial z} right) { vec {e}} _ {x} + left ({ partial v_ {x} over partial z} - { partial v_ {z} over partial x} right) { vec {e} } _ {y} + left ({ partial v_ {y} over partial x} - { partial v_ {x} over partial y} right) { vec {e}} _ {z} = nabla times { vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/23a22cc10604013afc8af44d761ca07826bb7eba)
Изгиб в точке пропорционален крутящему моменту на оси, которому подверглась бы крошечная вертушка, если бы она была отцентрирована в этой точке.
Операцию векторного произведения можно представить как псевдо-детерминант:
![nabla times { vec v} = left | { begin {matrix} { vec e} _ {x} & { vec e} _ {y} & { vec e} _ {z} [2pt] {{ frac { partial} { partial x}}} и {{ frac { partial} { partial y}}} и {{ frac { partial} { partial z}}} [2pt] v_ {x} & v_ {y} & v_ {z} end {matrix}} right |](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0186df28e644672e3db241adda2d7b137a91e994)
Снова сила обозначений демонстрируется правилом произведения:
![nabla times (f { vec v}) = ( nabla f) times { vec v} + f ( nabla times { vec v})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0a73cedd15d80e76d9f3b4029411e30b9475771)
К сожалению, правило для векторного произведения не оказывается простым:
![nabla times ( vec u times vec v) = vec u , ( nabla cdot vec v) - vec v , ( nabla cdot vec u) + ( vec v cdot nabla) , vec u - ( vec u cdot nabla) , vec v](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f02dab058c2565fabd01128575edda1607eb957b)
Производная по направлению
В производная по направлению скалярного поля
в направлении
определяется как:
![{ displaystyle { vec {a}} cdot operatorname {grad} f = a_ {x} { partial f over partial x} + a_ {y} { partial f over partial y} + a_ {z} { partial f over partial z} = { vec {a}} cdot ( nabla f)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b3e28b0aba24b5c39b8977350b44efa2612fc82)
Это дает скорость изменения поля
в направлении
. В обозначениях операторов элемент в скобках можно рассматривать как единую связную единицу; динамика жидкостей широко использует это соглашение, называя его конвективная производная - «движущаяся» производная жидкости.
Обратите внимание, что
- оператор, переводящий скаляр в скаляр. Его можно расширить для работы с вектором, отдельно работая с каждым из его компонентов.
Лапласиан
В Оператор Лапласа является скалярным оператором, который может применяться как к векторным, так и к скалярным полям; для декартовых систем координат он определяется как:
![Delta = { partial ^ 2 over partial x ^ 2} + { partial ^ 2 over partial y ^ 2} + { partial ^ 2 over partial z ^ 2} = nabla cdot набла = набла ^ 2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07578e67b23dba5c9583d405fd975e85348b696)
а определение более общих систем координат дано в векторный лапласиан.
Лапласианство присутствует повсюду в современном мире. математическая физика, появляясь, например, в Уравнение Лапласа, Уравнение Пуассона, то уравнение теплопроводности, то волновое уравнение, а Уравнение Шредингера.
Матрица Гессе
В то время как
обычно представляет собой Лапласиан иногда
также представляет Матрица Гессе. Первый относится к внутреннему продукту
, в то время как последний относится к диадическому продукту
:
.
Так ли
относится к матрице лапласа или гессе, в зависимости от контекста.
Тензорная производная
Del также может применяться к векторному полю, в результате чего тензор. В тензорная производная векторного поля
(в трех измерениях) представляет собой 9-членный тензор второго ранга, то есть матрицу 3 × 3, но может быть обозначен просто как
, где
представляет диадический продукт. Эта величина эквивалентна транспонированию Матрица якобиана векторного поля относительно пространства. Тогда дивергенцию векторного поля можно выразить как след этой матрицы.
Для небольшого смещения
, изменение векторного поля определяется выражением:
![{ displaystyle delta { vec {v}} = ( nabla otimes { vec {v}}) ^ {T} cdot delta { vec {r}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1da1fcedfa929e2c2833a1a99e49549c8bfc8743)
Правила продукта
Для векторное исчисление:
![{ Displaystyle { begin {align} nabla (fg) & = f nabla g + g nabla f nabla ({ vec {u}} cdot { vec {v}}) & = { vec {u}} times ( nabla times { vec {v}}) + { vec {v}} times ( nabla times { vec {u}}) + ({ vec { u}} cdot nabla) { vec {v}} + ({ vec {v}} cdot nabla) { vec {u}} nabla cdot (f { vec {v} }) & = f ( nabla cdot { vec {v}}) + { vec {v}} cdot ( nabla f) nabla cdot ({ vec {u}} times { vec {v}}) & = { vec {v}} cdot ( nabla times { vec {u}}) - { vec {u}} cdot ( nabla times { vec { v}}) nabla times (f { vec {v}}) & = ( nabla f) times { vec {v}} + f ( nabla times { vec {v}} ) nabla times ({ vec {u}} times { vec {v}}) & = { vec {u}} , ( nabla cdot { vec {v}}) - { vec {v}} , ( nabla cdot { vec {u}}) + ({ vec {v}} cdot nabla) , { vec {u}} - ({ vec {u}} cdot nabla) , { vec {v}} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36fb0746c0c25e3dbe84794bab864821859fef96)
Для матричное исчисление (для которого
можно написать
):
![{ displaystyle { begin {align} left ( mathbf {A} nabla right) ^ { text {T}} { vec {u}} & = nabla ^ { text {T}} left ( mathbf {A} ^ { text {T}} { vec {u}} right) - left ( nabla ^ { text {T}} mathbf {A} ^ { text {T }} right) { vec {u}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6a5aac01c600e5759372e65efa4ec5057adcc55)
Другое интересное отношение (см., Например, Уравнения Эйлера ) следующее, где
это внешний продукт тензор:
![{ displaystyle { begin {align} nabla cdot ({ vec {u}} otimes { vec {v}}) = ( nabla cdot { vec {u}}) { vec {v }} + ({ vec {u}} cdot nabla) { vec {v}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5072ed03b8ed6c66f66e4af47d556daa5f01cb03)
Вторые производные
Диаграмма DCG: простая диаграмма, отображающая все правила, относящиеся ко вторым производным. D, C, G, L и CC обозначают дивергенцию, локон, градиент, лапласиан и локон локона соответственно. Стрелки указывают на наличие вторых производных. Синий кружок посередине представляет завиток завитка, тогда как два других красных круга (пунктир) означают, что DD и GG не существуют.
Когда del работает со скаляром или вектором, возвращается либо скаляр, либо вектор. Из-за разнообразия векторных произведений (скаляр, точка, крест) одно применение del уже приводит к трем основным производным: градиент (скалярное произведение), дивергенция (скалярное произведение) и curl (перекрестное произведение). Применение этих трех видов производных снова друг к другу дает пять возможных вторых производных для скалярного поля ж или векторное поле v; использование скаляра Лапласиан и векторный лапласиан дает еще два:
![{ displaystyle { begin {align} OperatorName {div} ( Operatorname {grad} f) & = nabla cdot ( nabla f) operatorname {curl} ( operatorname {grad} f) & = nabla times ( nabla f) Delta f & = nabla ^ {2} f operatorname {grad} ( operatorname {div} { vec {v}}) & = nabla ( nabla cdot { vec {v}}) operatorname {div} ( operatorname {curl} { vec {v}}) & = nabla cdot ( nabla times { vec {v}}) operatorname {curl} ( operatorname {curl} { vec {v}}) & = nabla times ( nabla times { vec {v}}) Delta { vec {v} } & = nabla ^ {2} { vec {v}} end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe5b99ce15db8a49f6237e05387531d2caa8ab9)
Они представляют интерес главным образом потому, что не всегда уникальны или независимы друг от друга. Пока функции хорошо воспитанный[требуется разъяснение ], два из них всегда равны нулю:
![{ displaystyle { begin {align} operatorname {curl} ( operatorname {grad} f) & = nabla times ( nabla f) = 0 operatorname {div} ( operatorname {curl} { vec {v}}) & = nabla cdot nabla times { vec {v}} = 0 end {выравнивается}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/963282bdeed9310ab31e000e3231a3d723cfda23)
Два из них всегда равны:
![{ displaystyle operatorname {div} ( operatorname {grad} f) = nabla cdot ( nabla f) = nabla ^ {2} f = Delta f}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f3a762325091088033a0380cd92adb712ec6cb0)
Остальные 3 производные вектора связаны уравнением:
![{ displaystyle nabla times left ( nabla times { vec {v}} right) = nabla ( nabla cdot { vec {v}}) - nabla ^ {2} { vec {v}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d57f84e7bb017d8eaaf0e6469bae1944ef9005)
И один из них может быть даже выражен тензорным произведением, если функции выполнены правильно:
![{ displaystyle nabla ( nabla cdot { vec {v}}) = nabla cdot ( nabla otimes { vec {v}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6f483fa07f50e07f01ed8fcbf068c129eb103861)
Меры предосторожности
Большинство вышеперечисленных векторных свойств (за исключением тех, которые явно зависят от дифференциальных свойств del - например, правила произведения) полагаются только на перестановку символов и обязательно должны выполняться, если символ del заменяется любым другим вектором. Это часть значения, которое необходимо получить при обозначении этого оператора в виде вектора.
Хотя часто можно заменить del вектором и получить векторную идентичность, сделав эти идентичности мнемоническими, обратное не обязательно надежно, потому что дель вообще не ездит на работу.
Контрпример, основанный на том, что Дель не смог поехать на работу:
![{ Displaystyle { begin {выровнено} ({ vec {u}} cdot { vec {v}}) f & Equiv ({ vec {v}} cdot { vec {u}}) f ( nabla cdot { vec {v}}) f & = left ({ frac { partial v_ {x}} { partial x}} + { frac { partial v_ {y}} { partial y}} + { frac { partial v_ {z}} { partial z}} right) f = { frac { partial v_ {x}} { partial x}} f + { frac { частичный v_ {y}} { partial y}} f + { frac { partial v_ {z}} { partial z}} f ({ vec {v}} cdot nabla) f & = left (v_ {x} { frac { partial} { partial x}} + v_ {y} { frac { partial} { partial y}} + v_ {z} { frac { partial} { partial z}} right) f = v_ {x} { frac { partial f} { partial x}} + v_ {y} { frac { partial f} { partial y}} + v_ {z } { frac { partial f} { partial z}} Rightarrow ( nabla cdot { vec {v}}) f & neq ({ vec {v}} cdot nabla) f конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e0602e366be6a1826269f8ad5a60b8feef9c569)
Контрпример, основанный на дифференциальных свойствах Дела:
![{ Displaystyle { begin {align} ( nabla x) times ( nabla y) & = left ({ vec {e}} _ {x} { frac { partial x} { partial x} } + { vec {e}} _ {y} { frac { partial x} { partial y}} + { vec {e}} _ {z} { frac { partial x} { partial z}} right) times left ({ vec {e}} _ {x} { frac { partial y} { partial x}} + { vec {e}} _ {y} { frac { partial y} { partial y}} + { vec {e}} _ {z} { frac { partial y} { partial z}} right) & = ({ vec { e}} _ {x} cdot 1 + { vec {e}} _ {y} cdot 0 + { vec {e}} _ {z} cdot 0) times ({ vec {e} } _ {x} cdot 0 + { vec {e}} _ {y} cdot 1 + { vec {e}} _ {z} cdot 0) & = { vec {e}} _ {x} times { vec {e}} _ {y} & = { vec {e}} _ {z} ({ vec {u}} x) times ({ vec {u}} y) & = xy ({ vec {u}} times { vec {u}}) & = xy { vec {0}} & = { vec {0}} конец {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8fd51c2f93f1b7d68c6aa6f21ee7b11339aad1e5)
Центральным в этих различиях является тот факт, что del - это не просто вектор; это векторный оператор. В то время как вектор - это объект, имеющий как величину, так и направление, del не имеет ни величины, ни направления, пока не будет работать с функцией.
По этой причине тождества с участием del должны быть получены с осторожностью, используя как векторные тождества, так и дифференциация идентичности, такие как правило продукта.
Смотрите также
использованная литература
внешние ссылки