Обращение ряда Дирихле - Dirichlet series inversion

В аналитическая теория чисел, а Серия Дирихле, или же Производящая функция Дирихле (DGF) последовательности - это общий способ понимания и суммирования арифметические функции осмысленно. Малоизвестный или, по крайней мере, часто забываемый способ выражения формул для арифметических функций и их сумматорные функции заключается в выполнении интегрального преобразования, которое инвертирует операцию формирования DGF последовательности. Эта инверсия аналогична выполнению обратное Z-преобразование к производящая функция последовательности для выражения формул для коэффициентов ряда данной обыкновенной производящей функции.

На данный момент мы будем использовать эту страницу как сборник «странностей» и часто забываемых фактов о преобразовании и инвертировании рядов Дирихле, DGF, и соотнесении инверсии DGF последовательности с сумматорной функцией последовательности. Мы также используем обозначения для извлечения коэффициентов, обычно применяемые к формальным производящие функции в некоторой сложной переменной, обозначив ${ Displaystyle [п ^ {- s}] D_ {f} (s) =: f (n)}$ для любого положительного целого числа ${ Displaystyle п geq 1}$ , в любое время

{ displaystyle D_ {f} (s): = sum _ {n geq 0} { frac {f (n)} {n ^ {s}}}, quad Re (s)> sigma _ {0, f},}

обозначает DGF (или Серия Дирихле ) из ж которое считается абсолютно сходящимся всякий раз, когда реальная часть из s больше, чем абсцисса абсолютной сходимости, ${ displaystyle sigma _ {0, f} in mathbb {R}}$ .

Отношение Преобразование Меллина сумматорной функции последовательности к DGF последовательности дает нам способ выражения арифметических функций ${ Displaystyle f (п)}$ такой, что ${ displaystyle f (1) neq 0}$ , а соответствующие Обратный Дирихле функции, ${ displaystyle f ^ {- 1} (п)}$ формулами обращения, включающими сумматорную функцию, определяемую

{ displaystyle S_ {f} (x): = { sum _ {n leq x}} ^ { prime} f (n), quad forall x geq 1.}

В частности, при условии, что DGF некоторой арифметической функции ж имеет аналитическое продолжение к ${ displaystyle s mapsto -s}$ , мы можем выразить Преобразование Меллина сумматорной функции ж продолженной формулой DGF как

{ displaystyle { mathcal {M}} [S_ {f}] (s) = - { frac {D_ {f} (- s)} {s}}.}

Часто бывает удобно выразить формулы для сумматорных функций над Обратный Дирихле функция ж используя эту конструкцию задачи типа обращения Меллина.

Предварительные сведения: обозначения, соглашения и известные результаты по DGF

ФРГ для обратных функций Дирихле

Напомним, что арифметическая функция обратима Дирихле или имеет обратную ${ displaystyle f ^ {- 1} (п)}$ относительно Свертка Дирихле такой, что ${ Displaystyle (е аст е ^ {- 1}) (п) = дельта _ {п, 1}}$ , или эквивалентно ${ Displaystyle е аст е ^ {- 1} = му аст 1 эквив varepsilon}$ , если и только если ${ displaystyle f (1) neq 0}$ . Нетрудно доказать, что это ${ displaystyle D_ {f} (s)}$ это DGF ж и абсолютно сходится для всех сложных s удовлетворение ${ Displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ , то ФРГ обратного Дирихле определяется выражением ${ Displaystyle D_ {е ^ {- 1}} (s) = 1 / D_ {f} (s)}$ а также абсолютно сходится для всех ${ Displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ . Положительный реальный ${ displaystyle sigma _ {0, f}}$ связанный с каждой обратимой арифметической функцией ж называется абсцисса схождения.

Мы также видим следующие тождества, связанные с Обратный Дирихле какой-то функции грамм что не исчезает сразу:

{ displaystyle { begin {align} (g ^ {- 1} ast mu) (n) & = [n ^ {- s}] left ({ frac {1} { zeta (s) D_ {g} (s)}} right) (g ^ {- 1} ast 1) (n) & = [n ^ {- s}] left ({ frac { zeta (s)} {D_ {g} (s)}} right). End {align}}}

Сумматорные функции

Используя то же соглашение при выражении результата Формула Перрона, мы предполагаем, что сумматорная функция арифметической функции (обратимой Дирихле) ${ displaystyle f}$ , определено для всех реальных ${ Displaystyle х geq 0}$ в соответствии с формулой

{ displaystyle S_ {f} (x): = { sum _ {n leq x}} ^ { prime} f (n) = { begin {cases} 0, & 0 leq x <1 sum limits _ {n <[x]} f (n), & x in mathbb {R} setminus mathbb {Z} ^ {+} wedge x geq 1 sum limits _ {n leq [x]} f (n) - { frac {f (x)} {2}}, & x in mathbb {Z} ^ {+}. end {cases}}}

Нам известна следующая связь между Преобразование Меллина сумматорной функции ж и DGF ж в любое время ${ Displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ :

{ displaystyle D_ {f} (s) = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac {S_ {f} (x)} {x ^ {s + 1}}} dx.}

Некоторые примеры этого отношения включают следующие тождества, включающие Функция Мертенса, или сумматорную функцию Функция Мебиуса, то простая дзета-функция и функция подсчета простых чисел, а Римманн функция подсчета простых чисел:

{ Displaystyle { begin {align} { frac {1} { zeta (s)}} & = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac {M (x)} {x ^ {s + 1}}} dx P (s) & = s cdot int _ {1} ^ { infty} { frac { pi (x)} {x ^ {s + 1}} } dx log zeta (s) & = s cdot int _ {0} ^ { infty} { frac { Pi _ {0} (x)} {x ^ {s + 1}} } dx. end {выровненный}}}

Утверждения интегральной формулы обращения Дирихле

Классическая интегральная формула

Для любого s такой, что ${ Displaystyle sigma: = Re (s)> sigma _ {0, f}}$ у нас есть это

{ Displaystyle е (х) эквив [х ^ {- s}] D_ {f} (s) = lim _ {T rightarrow infty} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} x ^ { sigma + imath t} D_ {f} ( sigma + imath t) , dt.}

Если мы напишем DGF ж согласно Преобразование Меллина формула сумматорной функции ж, то указанная интегральная формула просто соответствует частному случаю Формула Перрона. Другой вариант предыдущей формулы, изложенной в книге Апостола, дает интегральную формулу для альтернативной суммы в следующей форме для ${ displaystyle c, x> 0}$ и любой настоящий ${ displaystyle sigma> sigma _ {0, f} -c}$ где мы обозначаем ${ Displaystyle Re (s): = sigma}$ :

{ displaystyle { sum _ {n leq x}} ^ { prime} { frac {f (n)} {n ^ {s}}} = { frac {1} {2 pi imath} } int _ {c- imath infty} ^ {c + imath infty} D_ {f} (s + z) { frac {x ^ {z}} {z}} dz.}

Прямое доказательство: Из книги Апостола.

Частные случаи формулы

Если мы заинтересованы в выражении формул для Обратный Дирихле из ж, обозначаемый ${ displaystyle f ^ {- 1} (п)}$ в любое время ${ displaystyle f (1) neq 0}$ , мы пишем ${ Displaystyle D_ {f} (s) = 1 + s cdot A_ {f} (s)}$ . Тогда в силу абсолютной сходимости DGF для любого ${ Displaystyle Re (s)> sigma _ {0, f}}$ который

{ displaystyle { begin {align} int { frac {x ^ { imath t}} {D_ {f} ( sigma + imath t)}} , dt & = int left ( sum _ {j geq 0} ( sigma + imath t) ^ {j} times sum _ {k = 0} ^ {j} (- 1) ^ {k} D_ {f} ( sigma + imath t) ^ {k} { frac { log ^ {jk} (x)} {(jk)!}} right) , dt. end {выравнивается}}}

Теперь мы можем позвонить интеграция по частям чтобы увидеть, что если мы обозначим через ${ displaystyle F ^ {(- m)} (x) = sum _ {n geq 0} { frac {F ^ {(n)} (0)} {n!}} x ^ {n + m } times { frac {n!} {(n + m)!}}}$ обозначает ${ displaystyle m ^ {th}}$ первообразный из F, для любых фиксированных неотрицательных целых чисел ${ Displaystyle к geq 0}$ , у нас есть

{ displaystyle int (ax + b) ^ {k} cdot F (ax + b) , dx = sum _ {j = 0} ^ {k} { frac {k!} {a cdot j !}} (- 1) ^ {kj} t ^ {j} F ^ {(j + 1-k)} (ax + b).}

Таким образом, получаем, что

{ displaystyle { begin {align} int _ {- T} ^ {T} { frac {x ^ { imath t}} {D_ {f} ( sigma + imath t)}} , dt & = { frac {1} { imath}} left ( sum _ {j geq 0} sum _ {k = 0} ^ {j} sum _ {m = 0} ^ {k} { frac {k!} {m!}} (- 1) ^ {m} ( sigma + imath t) ^ {m} left [D_ {f} ^ {k} right] ^ {(j + 1 -k)} ( sigma + imath t) { frac { log ^ {jk} (x)} {(jk)!}} right) { Biggr |} _ {t = -T} ^ { t = + T}. end {выравнивается}}}

Мы также можем связать повторные интегралы для ${ displaystyle k ^ {th}}$ первообразные F конечной суммой k единичные интегралы степенных версий F:

{ displaystyle F ^ {(- k)} (x) = sum _ {i = 0} ^ {k-1} { binom {k-1} {i}} { frac {(-1) ^ {i}} {(k-1)!}} int { frac {F (x)} {x ^ {i}}} , dx.}

В свете этого расширения мы можем записать частично ограничивающую Трассматриваемые интегралы обращения ряда Дирихле в виде

{ displaystyle { begin {align} { frac {1} {2T}} int _ {- T} ^ {T} { frac {x ^ { imath t}} {D_ {f} ( sigma + imath t)}} , dt & = { frac {1} {2T cdot imath}} left ( sum _ {j geq 0} sum _ {k = 0} ^ {j} сумма _ {m = 0} ^ {k} sum _ {n = 0} ^ {jk} { binom {jk} {n}} { frac {(-1) ^ {k + n + m} cdot k!} {(jk)! cdot m!}} ( sigma + imath t) ^ {m} { frac { log ^ {jk} (x)} {(jk)!}} int _ {0} ^ { sigma + imath t} left [A_ {f} ^ {k} right] (v) { frac {dv} {v ^ {n}}} right) { Biggr |} _ {t = -T} ^ {t = + T} & = { frac {1} {2T cdot imath}} left ( sum _ {j geq 0} sum _ { k = 0} ^ {j} sum _ {m = 0} ^ {k} { frac {(-1) ^ {jk} cdot (-s) ^ {m}} {m!}} { frac { log ^ {k} (x)} {k!}} int _ {0} ^ {1} s cdot D_ {f} ^ {jk} (rs) left (1 - { frac { 1} {rs}} right) ^ {k} , dv right) { Biggr |} _ {s = sigma - imath T} ^ {s = sigma + imath T} & = { frac {s left (e ^ {- s} + O_ {s} (1) right)} {2T cdot imath}} int _ {0} ^ {1} { frac {x ^ {1 - { frac {1} {rs}}}} {1 + D_ {f} (rs)}} dr { Biggr |} _ {s = sigma - imath T} ^ {s = sigma + imath T} & = { frac { left (e ^ {- s} + O_ {s} (1) right)} {2T cdot imath}} int _ {0} ^ { s} { frac {x ^ {1 - { frac {1} {v}}}} {1 + D_ {f} (v)}} , dv { B iggr |} _ {s = sigma - imath T} ^ {s = sigma + imath T}. end {align}}}

Высказывания на языке преобразований Меллина

Формальная лемма о свертке типа производящей функции

Предположим, что мы хотим обработать интегральную формулу подынтегрального выражения для обращения коэффициента Дирихле в степенях ${ Displaystyle ( imath т) ^ {к}}$ куда ${ Displaystyle [( imath t) ^ {k}] F ( sigma + imath t) = F ^ {(k)}) ( sigma) / k!}$ , а затем действуйте так, как если бы мы вычисляли традиционный интеграл на реальной прямой. Тогда у нас есть это

{ Displaystyle { begin {align} { hat {D}} _ {f} (x; sigma, T) &: = int _ {- T} ^ {T} x ^ { sigma + imath t} D_ {f} ( sigma + imath t) , dt & = sum _ {m geq 0} int _ {- T} ^ {T} x ^ { sigma + imath t } ( imath t) ^ {m} { frac {D_ {f} ^ {(m)} ( sigma)} {m!}} & = sum _ {m geq 0} int _ {-T} ^ {T} t ^ {2m} x ^ { sigma + imath t} { frac {(-1) ^ {m} D_ {f} ^ {(2m)} ( sigma)} {(2m)!}} , Dt + imath times sum _ {m geq 0} int _ {- T} ^ {T} t ^ {2m + 1} x ^ { sigma + imath t } { frac {(-1) ^ {m} A ^ {(2m + 1)} ( sigma)} {(2m + 1)!}} , dt. end {align}}}

Нам потребуется результат следующей формулы, которая строго доказывается применением интеграция по частям, для любого неотрицательного целого числа ${ Displaystyle м geq 0}$ :

{ displaystyle { begin {align} { hat {I}} _ {m} (T) &: = int _ {- T} ^ {T} { frac {( imath t) ^ {m} } {m!}} x ^ { imath t} , dt & = sum _ {r = 0} ^ {m} { frac { left (x ^ { imath T} + (- 1 ) ^ {r + 1} x ^ {- imath T} right) (- imath) ^ {r + 1}} { log ^ {k + 1-r} (x)}} cdot { frac {T ^ {r}} {r!}} & = { frac { cos (T log x)} {T log x}} times sum _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r}} { log ^ {k-2r} (x) (2r)!}} + { frac { sin (T log x)} {T log x}} times sum _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r + 1}} { log ^ {k-2r-1} (x) (2r + 1)!}}. End {выравнивается}}}

Итак, соответствующие реальная и мнимая части нашего арифметическая функция коэффициенты ж в положительных целых числах Икс удовлетворить:

{ displaystyle { begin {align} operatorname {Re} (f (x)) & = x ^ { sigma} times lim _ {T rightarrow infty} sum _ {m geq 0} D_ {f} ^ {(2m)} ( sigma) cdot { frac {{ hat {I}} _ {2m} (T)} {2T}} имя оператора {Im} (f (x) ) & = x ^ { sigma} times lim _ {T rightarrow infty} sum _ {m geq 0} D_ {f} ^ {(2m + 1)} ( sigma) cdot { гидроразрыв {{ hat {I}} _ {2m + 1} (T)} {2T}}. end {align}}}

Последние тождества предполагают применение Произведение Адамара формула для производящие функции. В частности, мы можем разработать следующие тождества, которые выражают реальную и мнимую части нашей функции. ж в Икс в следующих формах:^[1]

{ displaystyle { begin {align} operatorname {Re} (f (x)) & = lim _ {T rightarrow infty} left [{ frac {x ^ { sigma}} {2T}} times { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} left (D_ {f} ( sigma + imath T cdot e ^ { imath s} ) + D_ {f} ( sigma - imath Te ^ { imath s}) right) left (FUNC (e ^ {- imath s}) right) , ds right] имя оператора {Im} (f (x)) & = lim _ {T rightarrow infty} left [{ frac {x ^ { sigma}} {2T}} times { frac {1} {2 pi}} int _ {- pi} ^ { pi} left (D_ {f} ( sigma + imath T cdot e ^ { imath s}) - D_ {f} ( sigma - imath Te ^ { imath s} right) () , ds right]. end {выравнивается}}}

Обратите внимание, что в частном случае, когда арифметическая функция ж строго действительна, мы ожидаем, что внутренние члены в предыдущей предельной формуле всегда равны нулю (т. е. для любого Т).

Смотрите также

Примечания

^ Чтобы применить интегральная формула для произведения Адамара, мы видим, что
${ Displaystyle { begin {align} sum _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r}} { log ^ {k-2r} (x) (2r)!}} & = - { frac {1} {2}} [z ^ {k}] left ({ frac {e ^ { imath T { sqrt {z}}}} {1 - { frac {z} { log x}}}} + { frac {e ^ {- imath T { sqrt {z}}}} {1 + { frac {z} { log x}}}} right) sum _ {r = 0} ^ { lfloor k / 2 rfloor} { frac {(-1) ^ {r + 1} T ^ {2r + 1}} { log ^ {k-2r-1} (x) (2r + 1)!}} & = - { frac {1} {2}} [z ^ {k}] left ({ frac {e ^ { imath T { sqrt {z}}}}} {1 - { frac {z} { log x}}}} - { frac {e ^ {- imath T { sqrt {z}}}} {1 + { frac {z} { log x}}}} right). end {выравнивается}}}$
На основании этого наблюдения формула, приведенная ниже, теперь является стандартным приложением указанной интегральной формулы для вычисления произведения Адамара двух производящих функций.