Неравенство Эйленберга - Eilenbergs inequality - Wikipedia

Неравенство Эйленберга это математическое неравенство за Липшицевы функции.

Позволять ƒ : Икс → Y - липшицева функция между метрические пространства постоянная Липшица которой обозначена Lipƒ. Тогда неравенство Эйленберга утверждает, что

${ Displaystyle int _ {Y} ^ {*} H_ {mn} (A cap f ^ {- 1} (y)) , dH_ {n} (y) leq { frac {v_ {mn} v_ {n}} {v_ {m}}} ({ text {Lip}} f) ^ {n} H_ {m} (A),}$

для любого А ⊂ Икс и все 0 ≤п ≤ м, куда

• звездочкой обозначен верхнийИнтеграл Лебега,
• v_п объем единичного шара вр^п,
• ЧАС_п это п-размерный Мера Хаусдорфа.

Неравенство Эйленберга является ключевым элементом доказательства Формула Coarea. Действительно, это подтверждает формулу коплощади, когда А представляет собой набор нулевой меры, который позволяет игнорировать из области любой раздражающий нулевой набор, например набор, в котором функция Липшица не дифференцируема.

Во многих текстах это указано с некоторыми ограничениями на метрические пространства, но в этом нет необходимости. Полное доказательство без каких-либо условий на метрические пространства можно найти в докторской диссертации Райхеля, ссылка на которую приводится ниже. Новое доказательство общего случая можно найти в статье 2020 года Esmayli, Behnam & Hajłasz, Piotr. (2020). Неравенство Coarea (Ссылка Arxiv ).

Рекомендации

• Ю. Д. Бураго и В. А. Залгаллер, Геометрические неравенства. Перевод с русского А. Б. Сосинского. Springer-Verlag, Берлин, 1988. ISBN  3-540-13615-0.

• (Докторская диссертация) Райхель, Лоренц Филип, Формула коплощади для отображений со значениями в метрическом пространстве, 2009 г. https://doi.org/10.3929/ethz-a-005905811