Эпи-конвергенция - Epi-convergence

В математический анализ, эпи-конвергенция это тип сходимости для ценный и расширенный реальный функции.

Эпи-сходимость важна, потому что это подходящее понятие сходимости для аппроксимации задач минимизации в области математическая оптимизация. Симметричное понятие гипоконвергенция подходит для задач максимизации. Моско конвергенция является обобщением эпи-сходимости на бесконечномерные пространства.

Определение

Позволять ${ displaystyle X}$ быть метрическое пространство, и ${ displaystyle f ^ { nu}: X to mathbb {R}}$ действительная функция для каждого натуральное число ${ displaystyle nu}$ . Мы говорим, что последовательность ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ эпи-сходится к функции ${ displaystyle f: X to mathbb {R}}$ если для каждого ${ displaystyle x in X}$

{ displaystyle { begin {align} & liminf _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) geq f (x) { text {для каждого}} x ^ { nu} to x { text {and}} & limsup _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) leq f (x) { text {для некоторых}} x ^ { nu} to x. end {align}}}

Расширенное расширение с действительной стоимостью

Следующее расширение позволяет применять эпи-сходимость к последовательности функций с непостоянной областью.

Обозначим через ${ Displaystyle { overline { mathbb {R}}} = mathbb {R} чашка { pm infty }}$ то расширенные действительные числа. Позволять ${ displaystyle f ^ { nu}}$ быть функцией ${ displaystyle f ^ { nu}: от X to { overline { mathbb {R}}}}$ для каждого ${ displaystyle nu in mathbb {N}}$ . Последовательность ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ эпи-сходится к ${ displaystyle f: X to { overline { mathbb {R}}}}$ если для каждого ${ displaystyle x in X}$

{ displaystyle { begin {align} & liminf _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) geq f (x) { text {для каждого}} x ^ { nu} to x { text {and}} & limsup _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) leq f (x) { text {для некоторых}} x ^ { nu} to x. end {align}}}

Фактически эпи-сходимость совпадает с ${ displaystyle Gamma}$ -конвергенция в первых счетных пространствах.

Гипоконвергенция

Эпи-сходимость - это подходящая топология для аппроксимации задач минимизации. Для задач максимизации используется симметричное понятие гипоконвергенция. ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ гипо-сходится к ${ displaystyle f}$ если

{ displaystyle limsup _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) leq f (x) { text {для каждого}} x ^ { nu} to Икс}

и

{ displaystyle liminf _ { nu to infty} f ^ { nu} (x ^ { nu}) geq f (x) { text {для некоторых}} x ^ { nu} to Икс.}

Связь с проблемами минимизации

Предположим, у нас есть сложная задача минимизации

{ Displaystyle Inf _ {х в C} г (х)}

куда ${ displaystyle g: X to mathbb {R}}$ и ${ Displaystyle C substeq X}$ . Мы можем попытаться аппроксимировать эту проблему последовательностью более простых задач.

{ Displaystyle Inf _ {х в C ^ { nu}} г ^ { nu} (х)}

для функций ${ displaystyle g ^ { nu}}$ и устанавливает ${ displaystyle C ^ { nu}}$ .

Эпи-сходимость дает ответ на вопрос: в каком смысле приближения должны сходиться к исходной задаче, чтобы гарантировать, что приближенные решения сходятся к решению оригинала?

Мы можем встроить эти задачи оптимизации в структуру эпи-сходимости, определив расширенные действительные функции

{ displaystyle { begin {align} f (x) & = { begin {cases} g (x), & x in C, infty, & x not in C, end {cases}} [4pt] f ^ { nu} (x) & = { begin {cases} g ^ { nu} (x), & x in C ^ { nu}, infty, & x not в C ^ { nu}. end {case}} end {align}}}

Так что проблемы ${ Displaystyle Inf _ {х в X} е (х)}$ и ${ Displaystyle Inf _ {х в X} е ^ { ню} (х)}$ эквивалентны исходной и приближенной задачам соответственно.

Если ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ эпи-сходится к ${ displaystyle f}$ , тогда ${ displaystyle limsup _ { nu to infty} [ inf f ^ { nu}] leq inf f}$ . Кроме того, если ${ displaystyle x}$ является предельной точкой минимизаторов ${ displaystyle f ^ { nu}}$ , тогда ${ displaystyle x}$ минимизатор ${ displaystyle f}$ . В этом смысле,

{ displaystyle lim _ {v to infty} operatorname {argmin} f ^ { nu} substeq operatorname {argmin} f.}

Эпи-сходимость - самое слабое понятие сходимости, для которого справедлив этот результат.

Характеристики

${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ эпи-сходится к ${ displaystyle f}$ если и только если ${ Displaystyle (-f ^ { nu})}$ гипо-сходится к ${ displaystyle -f}$ .
${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ эпи-сходится к ${ displaystyle f}$ если и только если ${ displaystyle ( operatorname {epi} f ^ { nu})}$ сходится к ${ displaystyle operatorname {epi} f}$ как установлено, в Чувство Пенлеве-Куратовски сходимости множества. Здесь, ${ displaystyle operatorname {epi} f}$ это эпиграф функции ${ displaystyle f}$ .
Если ${ displaystyle f ^ { nu}}$ эпи-сходится к ${ displaystyle f}$ , тогда ${ displaystyle f}$ полунепрерывно снизу.
Если ${ displaystyle f ^ { nu}}$ является выпуклый для каждого ${ displaystyle nu in mathbb {N}}$ и ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ эпи-сходится к ${ displaystyle f}$ , тогда ${ displaystyle f}$ выпуклый.
Если ${ displaystyle f_ {1} ^ { nu} leq f ^ { nu} leq f_ {2} ^ { nu}}$ и оба ${ Displaystyle (е_ {1} ^ { nu})}$ и ${ Displaystyle (е_ {2} ^ { nu})}$ эпи-сходятся к ${ displaystyle f}$ , тогда ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ эпи-сходится к ${ displaystyle f}$ .
Если ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ сходится равномерно к ${ displaystyle f}$ на каждом компакте ${ Displaystyle mathbb {R} ^ {п}}$ и ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ непрерывны, то ${ Displaystyle (е ^ { ню})}$ эпи-сходится и гипо-сходится к ${ displaystyle f}$ .
В общем, эпи-сходимость не подразумевает и не подразумевает поточечная сходимость. На поточечно сходящееся семейство функций можно сделать дополнительные предположения, чтобы гарантировать эпи-сходимость.