Треугольник Фурмана - Fuhrmann triangle

Треугольник Фурмана (красный): ${ Displaystyle треугольник M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime}}$
точки середины дуги: ${ displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$

Треугольник Фурмана (красный): ${ Displaystyle треугольник M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime}}$
${ Displaystyle треугольник M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} sim треугольник M_ {a} M_ {b} M_ {c}}$

В Треугольник Фурмана, названный в честь Вильгельм Фурманн (1833–1904) - специальный треугольник, основанный на заданном произвольном треугольнике.

Для данного треугольника ${ Displaystyle треугольник ABC}$ и это описанный круг середины дуг по сторонам треугольника обозначим ${ displaystyle M_ {a}, M_ {b}, M_ {c}}$. Эти средние точки отражаются на соответствующих сторонах треугольника, давая точки ${ Displaystyle M_ {a} ^ { prime}, M_ {b} ^ { prime}, M_ {c} ^ { prime}}$, который формирует Треугольник Фурмана.^[1][2]

Описанная окружность треугольника Фурмана - это Круг Фурмана. Кроме того, треугольник Фурмана похож на треугольник, образованный средними точками дуги, то есть ${ Displaystyle треугольник M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} sim треугольник M_ {a} M_ {b} M_ {c}}$.^[1] Для площади треугольника Фурмана верна следующая формула:^[3]

${ displaystyle | треугольник M_ {c} ^ { prime} M_ {b} ^ { prime} M_ {a} ^ { prime} | = { frac {(a + b + c) | OI | ^ {2}} {4R}} = { frac {(a + b + c) (R-2r)} {4}}}$

Где ${ displaystyle O}$ обозначает центр описанной окружности данного треугольника ${ Displaystyle треугольник ABC}$ и ${ displaystyle R}$ его радиус, а также ${ displaystyle I}$ обозначающий стимулятор и ${ displaystyle r}$ его радиус. Из-за Теорема Эйлера у одного также есть ${ Displaystyle | OI | ^ {2} = R (R-2r)}$. Следующие уравнения справедливы для сторон треугольника Фурмана:^[3]

${ displaystyle a ^ { prime} = { sqrt { frac {(-a + b + c) (a + b + c)} {bc}}} | OI |}$

${ displaystyle b ^ { prime} = { sqrt { frac {(a-b + c) (a + b + c)} {ac}}} | OI |}$

${ displaystyle c ^ { prime} = { sqrt { frac {(a + b-c) (a + b + c)} {ab}}} | OI |}$

Где ${ displaystyle a, b, c}$ обозначим стороны данного треугольника ${ Displaystyle треугольник ABC}$ и ${ displaystyle a ^ { prime}, b ^ { prime}, c ^ { prime}}$ стороны треугольника Фурмана (см. рисунок).

Рекомендации