Неравенство Гордингса - Gårdings inequality - Wikipedia

В математика, Неравенство Гординга является результатом, который дает нижнюю оценку для билинейная форма вызванный реальным линейный эллиптический оператор в частных производных. Неравенство названо в честь Ларс Гординг.

Формулировка неравенства

Пусть Ω - ограниченный, открытый домен в п-размерный Евклидово пространство и разреши ЧАСk(Ω) обозначают Соболевское пространство из k-размерно слабо дифференцируемые функции ты : Ω →р со слабыми производными в L2. Предположим, что Ω удовлетворяет условию k-расширение, т. е. что существует ограниченный линейный оператор E : ЧАСk(Ω) →ЧАСk(рп) такой, что (Европа)|Ω = ты для всех ты в ЧАСk(Ω).

Позволять L - линейный оператор в частных производных четного порядка 2k, записанный в дивергентной форме

и предположим, что L равномерно эллиптичен, т.е. существует постоянная θ > 0 такой, что

Наконец, предположим, что коэффициенты Аαβ находятся ограниченный, непрерывные функции на закрытие Ω для |α| = |β| = k и это

потом Неравенство Гординга имеет место: существуют константы C > 0 и грамм ≥ 0

куда

является билинейной формой, связанной с оператором L.

Приложение: оператор Лапласа и проблема Пуассона.

Будьте осторожны, в этом приложении неравенство Гардинга кажется бесполезным, поскольку конечный результат является прямым следствием Неравенства Пуанкаре или Неравенства Фридриха. (См. Обсуждение в статье).

В качестве простого примера рассмотрим Оператор Лапласа Δ. Более конкретно, предположим, что кто-то хочет решить для ж ∈ L2(Ω) Уравнение Пуассона

где Ω - ограниченная Липшицевский домен в рп. Соответствующая слабая форма задачи - найти ты в пространстве Соболева ЧАС01(Ω) такая, что

куда

В Лемма Лакса – Милграма. гарантирует, что если билинейная форма B непрерывна и эллиптична относительно нормы на ЧАС01(Ω), то для каждого ж ∈ L2(Ω) единственное решение ты должен существовать в ЧАС01(Ω). Гипотезы неравенства Гординга легко проверяются для оператора Лапласа Δ, поэтому существуют постоянные C и грамм ≥ 0

Применяя Неравенство Пуанкаре позволяет объединить два члена в правой части, давая новую константу K > 0 с

что и есть утверждение, что B эллиптический. Преемственность B увидеть еще проще: просто примените Неравенство Коши – Шварца и тот факт, что норма Соболева контролируется L2 норма уклона.

Рекомендации

  • Ренарди, Майкл; Роджерс, Роберт С. (2004). Введение в уравнения в частных производных. Тексты по прикладной математике 13 (второе изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. п. 356. ISBN  0-387-00444-0. (Теорема 9.17)