Эта статья о генераторе бесконечно малых для общих случайных процессов. По поводу генераторов для частного случая цепей Маркова с конечным состоянием и непрерывным временем см.
матрица скорости перехода.
В математика - в частности, в стохастический анализ - в бесконечно малый генератор из Валочный процесс (т.е. марковский процесс с непрерывным временем, удовлетворяющий определенным условиям регулярности) является оператор в частных производных который кодирует большой объем информации о процессе. Генератор используется в уравнениях эволюции, таких как Колмогорова обратное уравнение (который описывает эволюцию статистики процесса); это L2 Эрмитово сопряженный используется в уравнениях эволюции, таких как Уравнение Фоккера – Планка (который описывает эволюцию функции плотности вероятности процесса).[нужна цитата ]
Определение
Общий случай
Для d-мерного Валочный процесс
мы определяем генератор
к
![{displaystyle Af (x): = lim _ {tdownarrow 0} {frac {mathbb {E} ^ {x} (f (X_ {t})) - f (x)} {t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94d591e5de02e73771fd750ee52bafe9991abb6e)
всякий раз, когда этот предел существует в
, т.е. в пространстве непрерывных функций
исчезают на бесконечности.
Это определение аналогично определению бесконечно малый генератор
-полугруппа.[требуется разъяснение ]
| Эта статья отсутствует информация об общем случае, которая является неполной, хотя случай броуновского SDE непропорционально длинный и звучит так, как будто он менее специализирован, чем. Разверните статью, чтобы включить эту информацию. Дополнительные сведения могут быть указаны на страница обсуждения. (Январь 2020) |
Стохастические дифференциальные уравнения, управляемые броуновским движением
Позволять
определено на вероятностное пространство
быть Ито диффузия удовлетворение стохастическое дифференциальное уравнение формы:
![{displaystyle mathrm {d} X_ {t} = b (X_ {t}), mathrm {d} t + sigma (X_ {t}), mathrm {d} B_ {t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f04d55e48fbbdc906d9b63d91e76cbf83dd364)
куда
является м-размерный Броуновское движение и
и
- поля дрейфа и диффузии соответственно. Для точки
, позволять
обозначают закон
с учетом исходных данных
, и разреши
обозначают ожидание относительно
.
В бесконечно малый генератор из
оператор
, который определен, чтобы действовать на подходящие функции
к:
![{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = lim _ {tdownarrow 0} {frac {mathbb {E} ^ {x} [f (X_ {t})] - f (x)} {t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/439126b8e31f6b631740db2e654f29046a382d47)
Набор всех функций
для которого этот предел существует в точке
обозначается
, пока
обозначает множество всех
для которого предел существует для всех
. Можно показать, что любой компактно поддерживаемый
(дважды дифференцируемый с непрерывный вторая производная) функция
лежит в
и что:
![{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = sum _ {i} b_ {i} (x) {frac {partial f} {partial x_ {i}}} (x) + {frac {1} {2 }} sum _ {i, j} {ig (} sigma (x) sigma (x) ^ {op} {ig)} _ {i, j} {frac {partial ^ {2} f} {partial x_ {i }, частичное x_ {j}}} (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dead49e14f60a664f4ff5c38cce28909beda3fbe)
Или, с точки зрения градиент и скаляр и Внутренние продукты Фробениуса:
![{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = b (x) cdot abla _ {x} f (x) + {frac {1} {2}} {ig (} sigma (x) sigma (x) ^ {op} {ig)}: abla _ {x} abla _ {x} f (x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48af9b65ab79ec18a8f6581557e28173ebb27d57)
Генераторы некоторых общих процессов
- Для цепей Маркова с конечным состоянием и непрерывным временем генератор может быть выражен как матрица скорости перехода
- Стандартное броуновское движение на
, которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
, есть генератор
, куда
обозначает Оператор Лапласа. - Двумерный процесс
удовлетворение:
![{displaystyle mathrm {d} Y_ {t} = {mathrm {d} t выбрать mathrm {d} B_ {t}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7043945393fc6b8119b1b445ee92699bb6f82f4c)
- куда
представляет собой одномерное броуновское движение, может рассматриваться как график этого броуновского движения и имеет генератор:
![{displaystyle {mathcal {A}} f (t, x) = {frac {partial f} {partial t}} (t, x) + {frac {1} {2}} {frac {partial ^ {2} f } {частичное x ^ {2}}} (t, x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14aac939f11bf58d642975e6d084e11865cb6533)
- В Процесс Орнштейна – Уленбека на
, которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
, имеет генератор:
![{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = heta (mu -x) f '(x) + {frac {sigma ^ {2}} {2}} f' '(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/52855f80e5303a96fc183dbb90352f63c5127d58)
- Точно так же граф процесса Орнштейна – Уленбека имеет генератор:
![{displaystyle {mathcal {A}} f (t, x) = {frac {partial f} {partial t}} (t, x) + heta (mu -x) {frac {partial f} {partial x}} ( t, x) + {frac {sigma ^ {2}} {2}} {frac {partial ^ {2} f} {partial x ^ {2}}} (t, x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b77520ae7d666c3e3637871a63efb9865d672fc)
- А геометрическое броуновское движение на
, которая удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению
, имеет генератор:
![{displaystyle {mathcal {A}} f (x) = rxf '(x) + {frac {1} {2}} alpha ^ {2} x ^ {2} f' '(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65d9ba7020f1f17272c8de0a2ee37b782f724fc7)
Смотрите также
Рекомендации