Лемма Льва – Магенеса. - Lions–Magenes lemma

Эта статья включает в себя список общих Рекомендации, но он остается в основном непроверенным, потому что ему не хватает соответствующих встроенные цитаты. Пожалуйста, помогите улучшать эта статья введение более точные цитаты. (Февраль 2019 г.) (Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения)

В математика, то Лемма Льва – Магенеса. (или же теорема) является результатом теории Соболевские пространства из Банахово пространство -значные функции, который обеспечивает критерий для удаления производной функции по времени от ее действия (как функционала) на саму функцию.

Утверждение леммы

Позволять Икс₀, Икс и Икс₁ быть тремя Гильбертовы пространства с Икс₀ ⊆ Икс ⊆ Икс₁. Предположим, что Икс₀ является постоянно внедренный в Икс и это Икс является постоянно внедренный в Икс₁, и это Икс₁ является двойственным пространством Икс₀. Обозначим норму на Икс автор || · ||_Икс, и обозначим действие Икс₁ на Икс₀ к ${ Displaystyle langle cdot, cdot rangle}$. Предположим для некоторых ${ displaystyle T> 0}$ который ${ Displaystyle и в L ^ {2} ([0, T]; X_ {0})}$ такова, что его производная по времени ${ displaystyle { dot {u}} in L ^ {2} ([0, T]; X_ {1})}$. потом ${ displaystyle u}$ почти всюду равна функции, непрерывной из ${ displaystyle [0, T]}$ в ${ displaystyle X}$, причем в смысле скалярной распределения на ${ displaystyle (0, T)}$:

${ displaystyle { frac {1} {2}} { frac {d} {dt}} | u | _ {X} ^ {2} = langle { dot {u}}, u rangle }$

Приведенное выше неравенство имеет смысл, поскольку функции

${ displaystyle t rightarrow | u | _ {X} ^ {2}, quad t rightarrow langle { dot {u}} (t), u (t) rangle}$

оба интегрируемы на ${ displaystyle [0, T]}$.

Смотрите также

• Лемма Обена – Лайонса.

Примечания

Важно отметить, что эта лемма не распространяется на случай, когда ${ Displaystyle и в L ^ {p} ([0, T]; X_ {0})}$ такова, что его производная по времени ${ displaystyle { dot {u}} in L ^ {q} ([0, T]; X_ {1})}$ за ${ displaystyle p neq 2}$, ${ displaystyle q neq 2}$. Например, энергетическое равенство для трехмерного Уравнения Навье – Стокса не известно, что справедливо для слабых решений, так как слабое решение ${ displaystyle u}$ известно только удовлетворить ${ displaystyle u in L ^ {2} ([0, T]; H ^ {1})}$ и ${ displaystyle { dot {u}} in L ^ {4/3} ([0, T]; H ^ {- 1})}$ (куда ${ displaystyle H ^ {1}}$ это Соболевское пространство, и ${ displaystyle H ^ {- 1}}$ это его двойное пространство, что недостаточно для применения леммы Лайонса – Магнеса (потребуется ${ displaystyle { dot {u}} in L ^ {2} ([0, T]; H ^ {- 1})}$, но это не известно для слабых решений). ^[1]

Рекомендации

• Темам, Роджер (2001). Уравнения Навье-Стокса: теория и численный анализ. Провиденс, Род-Айленд: AMS Chelsea Publishing. С. 176–177. (Лемма 1.2)

• Львов, Жак Л .; Магенес, Энрико (1972). Неоднородные краевые задачи и приложения. Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag.