Теорема Мейерса - Meyers theorem - Wikipedia

В теория чисел, Теорема Мейера на квадратичные формы заявляет, что неопределенная квадратичная форма Q в пяти или более переменных за поле из рациональное число нетривиально представляет ноль. Другими словами, если уравнение

Q(Икс) = 0

имеет ненулевой настоящий решение, то оно имеет ненулевое рациональное решение (обратное очевидно). Очистив знаменатели, интегральное решение Икс также можно найти.

Теорема Мейера обычно выводится из Теорема Хассе – Минковского (что позже было доказано) и следующее утверждение:

Рациональная квадратичная форма от пяти или более переменных представляет ноль над полем Q_п из p-адические числа для всех п.

Теорема Мейера является наилучшей возможной относительно числа переменных: существуют неопределенные рациональные квадратичные формы Q в четырех переменных, которые не равны нулю. Одно семейство примеров приводится

Q(Икс₁,Икс₂,Икс₃,Икс₄) = Икс₁² + Икс₂² − п(Икс₃² + Икс₄²),

куда п это простое число то есть конгруэнтный до 3 по модулю 4. Это можно доказать методом бесконечный спуск используя тот факт, что если сумма двух идеальные квадраты делится на такой п то каждое слагаемое делится на п.

Смотрите также

• Решетка (группа)
• Гипотеза Оппенгейма

Рекомендации

• Мейер, А. (1884). "Mathematische Mittheilungen". Vierteljahrschrift der Naturforschenden Gesellschaft в Цюрихе. 29: 209–222.
• Милнор, Дж.; Хусемоллер, Д. (1973). Симметричные билинейные формы. Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 73. Springer-Verlag. ISBN  3-540-06009-Х. Zbl  0292.10016.
• Серр, Жан-Пьер (1973). Курс арифметики. Тексты для выпускников по математике. 7. Springer-Verlag. ISBN  0-387-90040-3. Zbl  0256.12001.
• Касселс, J.W.S. (1978). Рациональные квадратичные формы. Монографии Лондонского математического общества. 13. Академическая пресса. ISBN  0-12-163260-1. Zbl  0395.10029.