Теорема Массельмана - Musselmans theorem - Wikipedia

В Евклидова геометрия, Теорема Массельмана является собственностью определенных круги определяется произвольной треугольник.

Теорема Массельмана.svg

В частности, пусть быть треугольником и , , и это вершины. Позволять , , и быть вершинами отражающий треугольник , полученные зеркальным отображением каждой вершины через противоположную сторону.[1] Позволять быть центр окружности из . Рассмотрим три круга , , и определяется точками , , и , соответственно. Теорема гласит, что эти три Круги Musselman встретиться в точке , это обратный относительно центра описанной окружности из изогональный конъюгат или центр девяти точек из .[2]

Общая точка это точка в Список Кларка Кимберлинга из центры треугольников.[2][3]

История

Теорема была предложена как продвинутая проблема Джон Роджерс Массельман и Рене Гурмагтих в 1939 г.,[4] и доказательство было представлено ими в 1941 году.[5] Обобщение этого результата было сформулировано и доказано Гурмагтихом.[6]

Обобщение Гурмагтиха

В обобщении теоремы Массельмана Гурмагтихом кружки не упоминаются явно.

Как и раньше, пусть , , и быть вершинами треугольника , и его центр окружности. Позволять быть ортоцентр из , то есть пересечение трех его высотные линии. Позволять , , и быть тремя точками на отрезках , , и , так что . Рассмотрим три строки , , и , перпендикулярно , , и хотя точки , , и , соответственно. Позволять , , и - пересечения этих перпендикуляров с прямыми , , и , соответственно.

Это было замечено Йозеф Нойберг, в 1884 г., что три точки , , и лежать на общей линии .[7] Позволять быть проекцией центра описанной окружности на линии , и точка на такой, что . Гурмагтих доказал, что является обратной по отношению к описанной окружности изогонально сопряженного точки на Линия Эйлера , так что .[8][9]

Рекомендации

  1. ^ Д. Гринберг (2003) О точке Косница и отражающем треугольнике. Форум Геометрикорум, том 3, страницы 105–111
  2. ^ а б Эрик В. Вайсштейн (), Теорема Массельмана. онлайн-документ, доступ осуществлен 5 октября 2014 г.
  3. ^ Кларк Кимберлинг (2014), Энциклопедия центров треугольников, раздел Х (1157) . Дата обращения 2014-10-08.
  4. ^ Джон Роджерс Массельман и Рене Гурмагтих (1939), Расширенная задача 3928. Американский математический ежемесячный журнал, том 46, страница 601
  5. ^ Джон Роджерс Массельман и Рене Гурмагтиг (1941), Решение расширенной проблемы 3928. American Mathematics Monthly, том 48, страницы 281–283
  6. ^ Жан-Луи Эйм, Le Point de Kosnitza, стр. 10. Электронный документ, дата обращения 05.10.2014.
  7. ^ Йозеф Нойберг (1884), Mémoir sur le Tetraèdre. Согласно Нгуену, Нойберг также формулирует теорему Гурмагтиха, но неверно.
  8. ^ Кхоа Лу Нгуен (2005), Синтетическое доказательство обобщения Гурмагтиха теоремы Массельмана. Форум Геометрикорум, том 5, страницы 17–20
  9. ^ Ион Пэтраску и Кэтэлин Барбу (2012), Два новых доказательства теоремы Гурмагтиха. Международный журнал геометрии, том 1, страницы = 10–19, ISSN  2247-9880