Пучок на алгебраическом стеке - Sheaf on an algebraic stack

В алгебраической геометрии a квазикогерентный пучок на алгебраический стек ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ является обобщением квазикогерентный пучок по схеме. Наиболее конкретное описание состоит в том, что данные состоят из каждой схемы. S в базовой категории и ${ Displaystyle xi}$ в ${ Displaystyle { mathfrak {X}} (S)}$ , квазикогерентный пучок ${ displaystyle F _ { xi}}$ на S вместе с картами, реализующими условия совместимости между ${ displaystyle F _ { xi}}$ с.

Для Стек Делин-Мамфорд, есть более простое описание с точки зрения презентации ${ displaystyle U to { mathfrak {X}}}$ : квазикогерентный пучок на ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ один получен нисходящий квазикогерентный пучок на U.^[1] Квазикогерентный пучок на Стек Делин-Мамфорд обобщает orbibundle (в некотором смысле).

Конструируемые связки (например, как ℓ-адические пучки ) также могут быть определены на алгебраическом стеке, и они появляются как коэффициенты когомологии стека.

Определение

Следующее определение (Арбарелло, Корналба и Гриффитс 2011, Гл. XIII., Определение 2.1.)

Позволять ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ быть категория волокнистая в группоиды над категорией схем конечного типа над полем со структурным функтором п. Тогда квазикогерентный пучок - это данные, состоящие из:

для каждого объекта ${ Displaystyle xi}$ , квазикогерентный пучок ${ displaystyle F _ { xi}}$ на схеме ${ Displaystyle р ( хи)}$ ,
для каждого морфизма ${ Displaystyle H: xi to eta}$ в ${ displaystyle { mathfrak {X}}}$ и ${ Displaystyle час = п (ЧАС): п ( xi) к р ( eta)}$ в базовой категории изоморфизм
${ displaystyle rho _ {H}: h ^ {*} (F _ { eta}) { overset { simeq} { to}} F _ { xi}}$