Тензор скорости деформации - Strain-rate tensor

Двумерный поток, который в выделенной точке имеет только компонент скорости деформации, без средней скорости или компонента вращения.

В механика сплошной среды, то тензор скорости деформации или же тензор скорости деформации это физическое количество это описывает скорость изменения из деформация материала в окрестности определенной точки в определенный момент времени. Его можно определить как производная из тензор деформации относительно времени, или как симметричный компонент градиент (производная по положению) скорость потока. В механика жидкости его также можно описать как градиент скорости, мера того, как скорость жидкости меняется между разными точками внутри жидкости.^[1] Хотя этот термин может относиться к разнице в скорости между слоями потока в трубе,^[2] это часто используется для обозначения градиент скорости потока относительно его координаты.^[3] Эта концепция имеет значение в различных областях: физика и инженерное дело, включая магнитогидродинамика, горное дело и водоочистка.^[4]^[5]^[6]

Тензор скорости деформации представляет собой чисто кинематический концепция, описывающая макроскопический движение материала. Следовательно, это не зависит от природы материала или от сил и напряжений, которые могут на него действовать; и это относится к любому сплошная среда, ли твердый, жидкость или же газ.

С другой стороны, для любого жидкость Кроме сверхтекучие жидкости, любое постепенное изменение его деформации (т. е. ненулевой тензор скорости деформации) приводит к вязкие силы в его интерьере, благодаря трение между соседними жидкие элементы, которые склонны противодействовать этому изменению. В любой точке жидкости эти напряжения можно описать как тензор вязких напряжений то есть почти всегда полностью определяется тензором скорости деформации и некоторыми внутренними свойствами жидкости в этой точке. Вязкое напряжение также возникает в твердых телах, помимо упругое напряжение наблюдается при статической деформации; когда он слишком велик, чтобы его игнорировать, говорят, что материал вязкоупругий.

Размерный анализ

Выполняя размерный анализ, можно определить размеры градиента скорости. Размеры скорости ${ displaystyle M ^ {0} L ^ {1} T ^ {- 1}}$ , а размеры расстояния равны ${ displaystyle M ^ {0} L ^ {1} T ^ {0}}$ . Поскольку градиент скорости можно выразить как ${ displaystyle { frac { Delta { text {скорость}}} { Delta { text {distance}}}}}$ . Следовательно, градиент скорости имеет те же размеры, что и это отношение, т.е. ${ displaystyle M ^ {0} L ^ {0} T ^ {- 1}}$ .

В механике сплошной среды

В 3-х измерениях градиент ${ displaystyle nabla { bf {v}}}$ скорости ${ displaystyle { bf {v}}}$ второго порядка тензор ${ displaystyle { bf {J}}}$ (см. ниже), которые можно транспонировать как матрица ${ displaystyle { bf {L}}}$ :

{ displaystyle { bf {{L} = ( nabla { bf {{v}) ^ { intercal} = { begin {bmatrix} { frac { partial v_ {x}} { partial x}) } & { frac { partial v_ {y}} { partial x}} & { frac { partial v_ {z}} { partial x}} { frac { partial v_ {x}} { partial y}} & { frac { partial v_ {y}} { partial y}} & {{ frac { partial v_ {z}} { partial y}} } { frac { partial v_ {x}} { partial z}} & { frac { partial v_ {y}} { partial z}} & { frac { partial v_ {z}} { partial z}} end {bmatrix}}}}}}}

${ displaystyle { bf {L}}}$ можно разложить в сумму симметричная матрица ${ displaystyle { textbf {E}}}$ и кососимметричная матрица ${ displaystyle { textbf {W}}}$ следующее

{ displaystyle { begin {align} { bf {E}} & = { frac {1} {2}} left ({ bf {{L} + { bf {{L} ^ { textf {T}}}}}} right) { bf {W}} & = { frac {1} {2}} left ({ bf {{L} - { bf {{L}) ^ { extf {T}}}}}} right) end {align}}}

${ displaystyle { textbf {E}}}$ называется тензор скорости деформации и описывает скорость растяжения и сдвига. ${ displaystyle { textbf {W}}}$ называется тензором спина и описывает скорость вращения.^[7]

Связь между касательным напряжением и полем скорости

Сэр Исаак Ньютон предложил, чтобы напряжение сдвига прямо пропорциональна градиенту скорости:^[8]

{ Displaystyle тау = му { гидроразрыва { partial u} { partial y}}}

.

В константа пропорциональности, ${ displaystyle mu}$ , называется динамическая вязкость.

Формальное определение

Рассмотрим материальное тело, твердое или жидкое, которое течет и / или движется в пространстве. Позволять $v$ быть скоростью поле внутри тела; это гладкий функция от $ℝ 3 \times ℝ$ такой, что $v (п, т)$ это макроскопический скорость материала, проходящего через точку $п$ вовремя $т$ .

Скорость $v (п + р, т)$ в точке, смещенной от $п$ маленьким вектором $р$ можно записать как Серия Тейлор:

{ displaystyle mathbf {v} ( mathbf {p} + mathbf {r}, t) = mathbf {v} ( mathbf {p}, t) + ( nabla mathbf {v}) ( mathbf {p}, t) ( mathbf {r}) + { text {термины более высокого порядка}},}

куда $\nabla v$ градиент поля скорости, понимаемый как линейная карта который принимает вектор смещения $р$ к соответствующему изменению скорости.

Общее поле

v (п + р)

.

Постоянная часть

v (п)

.

Линейная часть

(\nabla v)(п, т)(р)

.

Нелинейная невязка.

Поле скорости

v (п + р, т)

произвольного обтекания точки

п

(красная точка) в какой-то момент

т

, и члены его приближения Тейлора первого порядка относительно

п

. Третья компонента скорости (вне экрана) везде считается равной нулю.

В произвольной система отсчета, $\nabla v$ относится к Матрица якобиана поля, а именно в 3 измерениях это матрица 3 × 3

{ displaystyle nabla mathbf {v} = { begin {bmatrix} partial _ {1} v_ {1} & partial _ {2} v_ {1} & partial _ {3} v_ {1} partial _ {1} v_ {2} & partial _ {2} v_ {2} & partial _ {3} v_ {2} partial _ {1} v_ {3} & partial _ { 2} v_ {3} & partial _ {3} v_ {3} end {bmatrix}} = mathbf {J}.}

куда $v я$ компонент $v$ параллельно ось $я$ и $\partial j ж$ обозначает частная производная функции $ж$ по пространственной координате $Икс j$ . Обратите внимание, что $J$ является функцией $п$ и $т$ .

В этой системе координат приближение Тейлора для скорости вблизи $п$ является

{ displaystyle v_ {i} ( mathbf {p} + mathbf {r}, t) = v_ {i} ( mathbf {p}, t) + sum _ {j} J_ {ij} ( mathbf {p}, t) r_ {j} = v_ {i} ( mathbf {p}, t) + sum _ {j} partial _ {j} v_ {i} ( mathbf {p}, t) r_ {j};}

или просто

{ Displaystyle mathbf {v} ( mathbf {p} + mathbf {r}, t) = mathbf {v} ( mathbf {p}, t) + mathbf {J} ( mathbf {p} , t) mathbf {r}}

если $v$ и $р$ рассматриваются как матрицы 3 × 1.

Симметричные и антисимметричные детали

Симметричная часть

E (п, т)(р)

(скорость деформации) линейного члена примера потока.

Антисимметричная часть

р (п, т)(р)

(вращение) линейного члена.

Любую матрицу можно разложить на сумму симметричная матрица и антисимметричная матрица. Применяя это к матрице Якоби $J = \nabla v$ с симметричными и антисимметричными компонентами $E$ и $р$ соответственно:

{ displaystyle { begin {align} mathbf {E} & = { frac {1} {2}} left ( mathbf {J} + mathbf {J} ^ { extf {T}} right ) & mathbf {R} & = { frac {1} {2}} left ( mathbf {J} - mathbf {J} ^ { extf {T}} right) E_ {ij} & = { frac {1} {2}} left ( partial _ {j} v_ {i} + partial _ {i} v_ {j} right) & R_ {ij} & = { frac {1 } {2}} left ( partial _ {j} v_ {i} - partial _ {i} v_ {j} right) end {align}}}

Это разложение не зависит от системы координат и поэтому имеет физическое значение. Тогда поле скоростей можно аппроксимировать как

{ displaystyle mathbf {v} ( mathbf {p} + mathbf {r}, t) приблизительно mathbf {v} ( mathbf {p}, t) + mathbf {E} ( mathbf {p }, t) ( mathbf {r}) + mathbf {R} ( mathbf {p}, t) ( mathbf {r}),}

то есть,

{ displaystyle { begin {align} v_ {i} ( mathbf {p} + mathbf {r}, t) & = v_ {i} ( mathbf {p}, t) + sum _ {j} E_ {ij} ( mathbf {p}, t) r_ {j} + sum _ {j} R_ {ij} ( mathbf {p}, t) r_ {j} & = v_ {i} ( mathbf {p}, t) + { frac {1} {2}} sum _ {j} left ( partial _ {j} v_ {i} ( mathbf {p}, t) + partial _ {i} v_ {j} ( mathbf {p}, t) right) r_ {j} + { frac {1} {2}} sum _ {j} left ( partial _ {j} v_ {i} ( mathbf {p}, t) - partial _ {i} v_ {j} ( mathbf {p}, t) right) r_ {j} end {align}}}

Антисимметричный член $р$ представляет собой жесткое вращение жидкости вокруг точки $п$ . Его угловая скорость ${ displaystyle { vec { omega}}}$ является

{ displaystyle { vec { omega}} = { frac {1} {2}} nabla times mathbf {v} = { frac {1} {2}} { begin {bmatrix} partial _ {2} v_ {3} - partial _ {3} v_ {2} partial _ {3} v_ {1} - partial _ {1} v_ {3} partial _ {1} v_ {2} - partial _ {2} v_ {1} end {bmatrix}}.}

Продукт $\nabla \times v$ называется вращающийся завиток векторного поля. Жесткое вращение не меняет взаимного расположения элементов жидкости, поэтому антисимметричный член $р$ градиента скорости не влияет на скорость изменения деформации. Таким образом, фактическая скорость деформации описывается симметричным $E$ срок, который является тензор скорости деформации.

Скорость сдвига и степень сжатия

Скалярная часть

D (п, т)(р)

(скорость равномерного расширения или сжатия) тензора скорости деформации

E (п, т)(р)

.

Бесследная часть

S (п, т)(р)

(скорость сдвига) тензора скорости деформации

E (п, т)(р)

.

Симметричный член $E$ градиента скорости (тензор скорости деформации) можно далее разбить как сумму скаляра, умноженного на единичный тензор, что представляет собой постепенное изотропное расширение или сжатие; и бесследный симметричный тензор, который представляет собой постепенную деформацию сдвига без изменения объема:^[9]

{ Displaystyle mathbf {E} ( mathbf {p}, t) ( mathbf {r}) = mathbf {D} ( mathbf {p}, t) ( mathbf {r}) + mathbf { S} ( mathbf {p}, t) ( mathbf {r}).}

То есть,

{ displaystyle E_ {ij} = underbrace {{ frac {1} {3}} left ( sum _ {k} partial _ {k} v_ {k} right) delta _ {ij}} _ {{ text {тензор скорости расширения}} D_ {ij}} + underbrace {{ frac {1} {2}} left ( partial _ {i} v_ {j} + partial _ {j} v_ {i} right) left (1- delta _ {ij} right)} _ {{ text {тензор скорости сдвига}} S_ {ij}},}

Здесь $δ$ это единичный тензор, так что $δ ij$ равно 1, если $я = j$ и 0, если $я \neq j$ . Это разложение не зависит от выбора системы координат и, следовательно, имеет физическое значение.

Тензор скорости расширения равен 1/3 из расхождение поля скорости:

{ displaystyle nabla cdot mathbf {v} = partial _ {1} v_ {1} + partial _ {2} v_ {2} + partial _ {3} v_ {3};}

это скорость, с которой объем фиксированного количества жидкости увеличивается в этой точке.

Тензор скорости сдвига представлен симметричной матрицей 3 × 3 и описывает поток, который объединяет потоки сжатия и расширения вдоль трех ортогональных осей, так что объем не изменяется. Этот тип потока возникает, например, когда резинка полоса растягивается, потянув за концы, или когда медовый падает с ложки гладкой непрерывной струей.

Для двумерного потока расходимость $v$ имеет только два члена и позволяет количественно оценить изменение площади, а не объема. Фактор 1/3 в члене коэффициента расширения следует заменить на 1/2 в таком случае.

Примеры

Изучение градиентов скорости полезно при анализе материалов, зависящих от траектории, и при последующем изучении напряжений и деформаций; например., Пластическая деформация из металлы.^[3] Пристенный градиент скорости несгоревших реагентов, вытекающих из трубы, является ключевым параметром для характеристики стабильности пламени.^[5]^:1–3 Градиент скорости плазма может определять условия решения основных уравнений магнитной гидродинамики.^[4]

Жидкость в трубе

Рассмотрим поле скоростей жидкости, протекающей через трубка. Слой жидкости, контактирующей с трубой, обычно находится в состоянии покоя по отношению к трубе. Это называется условие отсутствия скольжения.^[10] Если разница скоростей между слоями жидкости в центре трубы и по сторонам трубы достаточно мала, то течение жидкости наблюдается в виде сплошных слоев. Этот тип течения называется ламинарный поток.

В скорость потока разница между соседними слоями может быть измерена с помощью градиента скорости, определяемого выражением ${ displaystyle Delta u / Delta y}$ . Где ${ displaystyle Delta u}$ - разница в скорости потока между двумя слоями и ${ displaystyle Delta y}$ это расстояние между слоями.