Символическая сила идеала - Symbolic power of an ideal

В алгебра и алгебраическая геометрия, учитывая коммутативный Кольцо Нётериана ${ displaystyle R}$ и идеальный ${ displaystyle I}$ в нем п-я символическая сила из ${ displaystyle I}$ это идеал

${ displaystyle I ^ {(n)} = R cap bigcap _ {P in operatorname {Ass} (I)} I ^ {n} R_ {P}}$

куда ${ displaystyle R_ {P}}$ это локализация из ${ displaystyle R}$ к ${ displaystyle P}$ и перекресток проходит через все связанные простые числа из ${ displaystyle R / I}$

Хотя это определение не требует ${ displaystyle I}$ быть основной, с этим предположением часто работают, потому что в случае главный идеал, символическая мощность может быть эквивалентно определена как ${ displaystyle I}$-основной компонент из ${ displaystyle I ^ {n}}$. Грубо говоря, он состоит из функций с нулями порядка п вдоль многообразия, определяемого ${ displaystyle I}$. У нас есть: ${ Displaystyle I ^ {(1)} = I}$ и если это максимальный идеал, тогда ${ displaystyle I ^ {(n)} = I ^ {n}}$.

Символические силы порождают следующую цепочку идеалов:

${ Displaystyle I ^ {(0)} = R supset I = I ^ {(1)} supset I ^ {(2)} supset I ^ {(3)} supset I ^ {(4)} supset cdots}$

Использует

Изучение и использование символических сил имеет долгую историю в коммутативная алгебра. Krull’s знаменитое доказательство его теорема о главном идеале использует их существенно. Они впервые возникли после первичные разложения были доказаны для Нётерские кольца. Зарисский использовал символические силы в своем исследовании аналитического нормальность из алгебраические многообразия. Шевалле знаменитая лемма сравнения топологии заявляет, что в полный локальный домен символические силы топология любой основной является тоньше чем м-адическая топология. Решающий шаг в теореме об исчезновении локальные когомологии Хартсхорна и Лихтенбаума использует это для прайма ${ displaystyle I}$ определение изгиб в полный локальный домен, полномочия ${ displaystyle I}$ находятся финальный с символической силой ${ displaystyle I}$. Это важное свойство бытия финальный был разработан Schenzel в 1970-х годах.^[1]

В алгебраической геометрии

Хотя генераторы за обычные полномочия из ${ displaystyle I}$ хорошо понимаются, когда ${ displaystyle I}$ задается в терминах его генераторов как ${ Displaystyle I = (е_ {1}, ldots, е_ {к})}$, во многих случаях по-прежнему очень трудно определить образующие символических степеней ${ displaystyle I}$. Но в геометрический постановке имеется четкая геометрическая интерпретация в том случае, когда ${ displaystyle I}$ это радикальный идеал над алгебраически замкнутое поле из характеристика ноль.

Если ${ displaystyle X}$ является несводимый разнообразие чей идеал исчезновения ${ displaystyle I}$, то дифференциальная мощность из ${ displaystyle I}$ состоит из всех функции в ${ displaystyle R}$ что исчезаютна порядок ≥ п на ${ displaystyle X}$, т.е.

${ displaystyle I ^ { langle n rangle}: = {f in R mid f { text {исчезает по порядку}} geq n { text {на всех}} X }.}$

Или, что то же самое, если ${ displaystyle mathbf {m} _ {p}}$ это максимальный идеал на точку ${ displaystyle p in X}$, ${ Displaystyle I ^ { langle п rangle} = bigcap _ {p in X} mathbf {m} _ {p} ^ {n}}$.

Теорема (Нагата, Зариски)^[2] Позволять ${ displaystyle I}$ быть главным идеалом в кольцо многочленов ${ Displaystyle К [x_ {1}, ldots, x_ {N}]}$ над алгебраически замкнутым полем. потом

${ displaystyle I ^ {(m)} = I ^ { langle m rangle}}$

Этот результат можно распространить на любой радикальный идеал.^[3] Эта формулировка очень полезна, потому что в характеристика ноль, мы можем вычислить дифференциальные мощности в терминах генераторов как:

${ displaystyle I ^ { langle m rangle} = left langle f mid { frac { partial ^ { mathbf {a}} f} { partial x ^ { mathbf {a}}}} in I { text {для всех}} mathbf {a} in mathbb {N} ^ {N} { text {where}} | mathbf {a} | = sum _ {i = 1} ^ {N} a_ {i} leq m-1 right rangle}$

В другой постановке можно рассмотреть случай, когда база звенеть это кольцо многочленов через поле. В этом случае мы можем интерпретировать п-я символическая сила как пучок всех функций микробы над ${ displaystyle X = operatorname {Spec} (R) { text {исчезает по порядку}} geq n { text {at}} Z = V (I)}$Фактически, если ${ displaystyle X}$ это гладкий сорт через идеальное поле, тогда

${ displaystyle I ^ {(n)} = {е in R mid f in mathbf {m} ^ {n} { text {для каждой замкнутой точки}} mathbf {m} in Z }}$^[1]

Контейнеры

Естественно задуматься о том, согласуются ли символические силы с обычными полномочиями, т.е. ${ displaystyle I ^ {n} = I ^ {(n)}}$ держать? В общем это не так. Одним из примеров этого является главный идеал ${ Displaystyle P = (х ^ {4} -yz, , y ^ {2} -xz, , x ^ {3} y-z ^ {2}) substeq K [x, y, z]}$. Вот это ${ Displaystyle P ^ {2} neq P ^ {(2)}}$.^[1] Тем не мение, ${ Displaystyle P ^ {2} subset P ^ {(2)}}$ имеет место и обобщение этого включение хорошо понимается. Действительно, сдерживание ${ Displaystyle I ^ {п} substeq I ^ {(п)}}$следует из определения. Кроме того, известно, что ${ displaystyle I ^ {r} substeq I ^ {(m)}}$ если и только если ${ displaystyle m leq r}$. Доказательство следует из Лемма Накаямы.^[4]

Было проведено обширное исследование другого сдерживания, когда символические силы содержатся в обычных силах идеалов, что называется проблемой сдерживания. И снова этот легко формулируемый ответ резюмируется в следующей теореме. Он был разработан Эйном, Лазарфельдом и Смитом в нулевой характеристике. ^[5] и был расширен до положительная характеристика Хохстера и Хунеке.^[6] Обе их статьи основываются на результатах Ирена Суонсон в Линейная эквивалентность идеальных топологий (2000).^[7]

Теорема (Эйн, Лазарфельд, Смит; Хохстер, Хунеке) Позволять ${ Displaystyle I подмножество К [x_ {1}, x_ {2}, ldots, x_ {N}]}$ быть однородный идеал. Тогда включение

${ displaystyle I ^ {(m)} subset I ^ {r}}$ относится ко всем ${ displaystyle m geq №}$

Позже было подтверждено, что граница из ${ displaystyle N}$ в теореме нельзя затягивать за общие идеалы.^[8] Однако после заданного вопроса^[8] Боччи, Харборн и Хунеке обнаружили, что в некоторых случаях существует лучшая граница.

Теорема Включение ${ Displaystyle I ^ {(м)} substeq I ^ {r}}$ для всех ${ displaystyle m geq Nr-N + 1}$ держит

1. для произвольных идеалов характеристики 2;^[9]
2. за мономиальные идеалы в произвольной характеристике^[4]
3. для идеалов d-звезды^[8]
4. для идеалов общих точек в ${ Displaystyle mathbb {P} ^ {2} { text {и}} mathbb {P} ^ {3}}$^[10][11]

Рекомендации

Слева: Брайан Харборн, Сандра Ди Рокко, Томаш Шемберг [pl ], и Томас Бауэр в МФО мини-мастерская Линейные ряды на алгебраических многообразиях, 2010

внешняя ссылка

• Мелвин Хохстер, Math 711: Лекция 7 сентября 2007 г.