Векторное пространство Тейта - Tate vector space

В математике Векторное пространство Тейта это векторное пространство полученный из конечномерных векторных пространств способом, который позволяет расширить такие понятия, как измерение и детерминант в бесконечномерную ситуацию. Пространства Тейт были введены Александр Бейлинсон, Борис Фейгин, и Барри Мазур  (1991 ), который назвал их в честь Джон Тейт.

Вступление

Типичный пример векторного пространства Тейта над полем k являются Серия Laurent power

${ Displaystyle V = К ((т)). ,}$

Он имеет две характерные особенности:

• в качестве п растет, V является объединением его подмодулей ${ Displaystyle т ^ {- п} к [[т]]}$, куда ${ Displaystyle к [[т]]}$ обозначает кольцо серии power. Эти подмодули называются решетками.
• Несмотря на то, что каждая решетка является бесконечномерным векторным пространством, частные любых отдельных решеток,

${ Displaystyle т ^ {- п} к [[т]] / т ^ {- т} к [[т]], п geq м}$

находятся конечный-размерный k-векторные пространства.

Модули Тейт

Модули Тейт были представлены Дринфельд (2006) служить понятием бесконечномерных векторных расслоений. Для любого кольца р, Дринфельд определил элементарные модули Тейта как топологические р-модули вида

${ displaystyle P oplus Q ^ {*}}$

куда п и Q проективны р-модули (возможно, бесконечного ранга), а * обозначает двойственный.

Для поля векторные пространства Тейта в этом смысле эквивалентны локально линейно компактным векторным пространствам - концепция, восходящая к Лефшецу. Они характеризуются тем, что имеют основу топологии, состоящую из соизмеримый субвекторные пространства.

Тейт объекты

Объекты Тейт можно определить в контексте любого точная категория C.^[1] Вкратце, точная категория - это способ аксиоматизировать определенные особенности короткие точные последовательности. Например, категория конечномерных k-векторных пространств, или категория конечно порожденных проективных р-модули, для некоторых звенеть р, является точной категорией с обычным понятием коротких точных последовательностей.

Расширение приведенного выше примера ${ Displaystyle к ((т))}$ к более общей ситуации основывается на следующем наблюдении: существует точная последовательность

${ Displaystyle 0 к к [[t]] к к ((t)) к t ^ {- 1} к [t ^ {- 1}] к 0}$

чьи внешние условия являются обратный предел и прямой предел соответственно конечномерных k-векторные пространства

${ Displaystyle к [[т]] = lim _ {п} к [т] / т ^ {п}}$

${ displaystyle t ^ {- 1} к [t ^ {- 1}] = operatorname {colim} _ {m} bigoplus _ {i = -1} ^ {- m} t ^ {i} cdot k .}$

В общем, для точной категории C, есть категория Pro (C) про-объектов и категории Ind (C) из инд-объекты. Эта конструкция может быть повторена и дает точную категорию Ind (Pro (C)). Категория элементарные объекты Тейт

${ displaystyle operatorname {Tate} ^ { text {el}} (C)}$

определяется как наименьшая подкатегория этих объектов Ind-Pro V такая, что есть короткая точная последовательность

${ Displaystyle 0 к L к V к L ' к 0}$

куда L является про-объектом и L ' является индобъектом. Можно показать, что это условие на V эквивалентно тому, что требуется для ind-презентации

${ displaystyle V: I to operatorname {Pro} (C)}$

частные ${ Displaystyle V_ {j} / V_ {i}}$ находятся в C (в отличие от Pro (C)).

Категория Тейт (C) из Тейт объекты определяется как замыкание при ретрактах (идемпотентное завершение) элементарных объектов Тейт.

Braunling, Groechenig и Wolfson (2016) показал, что объекты Тейт (для C категория конечно порожденных проективных р-модулей и при условии, что семейства индексации объектов Ind-Pro счетны) эквивалентны счетно генерируемым Tate р-модули в смысле Дринфельда, упомянутого выше.

Связанные понятия и приложения

А Алгебра Тэйта Ли векторное пространство Тейта с дополнительной структурой алгебры Ли. Примером алгебры Ли Тэйта является алгебра Ли формальный степенной ряд над конечномерной алгеброй Ли.

Категория объектов Тейт также является точной категорией, как можно показать. Следовательно, конструкция может быть повторена, что актуально для приложений в многомерной теории полей классов,^[2] который изучает более высокие локальные поля, такие как

${ displaystyle mathbf {F} _ {p} ((t_ {1})) cdots ((t_ {n})).}$

Капранов (2001) ввел так называемый детерминантный торсор для векторных пространств Тейта, который расширяет обычные понятия линейной алгебры определителей, следов и т. д. до автоморфизмов ж векторных пространств Тейта V. Основная идея состоит в том, что даже если решетка L в V бесконечномерна, решетки L и ж(L) соизмеримы, так что в конечномерном смысле однозначно продолжается на все решетки, если определитель одной решетки фиксирован.Клаузен (2009) применил этот торсор, чтобы одновременно доказать Теорема Римана – Роха, Вейль взаимность и формула суммы остатков. Последняя формула была уже доказана Тейт (1968) аналогичными способами.

Примечания

Рекомендации

• Архипов, Сергей (2002), "Полубесконечные когомологии алгебр Тейта Ли", Московский математический журнал, 2 (1): 35–40, arXiv:математика / 0003015, Bibcode:2000математика ...... 3015А, ISSN  1609-3321, МИСТЕР  1900583
• Архипов, Сергей; Кремнизер, Коби (2010), "2-гербовые пространства и 2-пространства Тейта", Арифметика и геометрия вокруг квантования, 279, Birkhäuser, стр. 23–35, arXiv:0708.4401, Дои:10.1007/978-0-8176-4831-2_2, МИСТЕР  2656941
• Бейлинсон, Александр; Фейгин, Б .; Мазур, Барри (1991), Заметки о конформной теории поля, Неопубликованная рукопись
• Браунлинг, Оливер; Groechenig, Майкл; Вольфсон, Джесси (2016), «Объекты Тейт в точных категориях», Моск. Математика. Дж., 16 (3), arXiv:1402.4969v4, МИСТЕР  3510209
• Клаузен, Дастин (2009), Бесконечномерная линейная алгебра, детерминантное линейное расслоение и расширение Каца – Муди, Гарвардский семинар 2009 г.
• Владимир Дринфельд (2006), "Бесконечномерные векторные расслоения в алгебраической геометрии: введение", в книге Павла Этингофа; Владимир Ретах; И. М. Зингер (ред.), Единство математики, Birkhäuser Boston, стр. 263–304, arXiv:математика / 0309155v4, Дои:10.1007/0-8176-4467-9_7, ISBN  978-0-8176-4076-7, МИСТЕР  2181808
• Капранов, М. (2001), Полубесконечные симметричные степени, arXiv:математика / 0107089, Bibcode:2001математика ...... 7089K
• Превиди, Луиджи (2011), «Локально компактные объекты в точных категориях», Междунар. J. Math., 22 (12): 1787–1821, arXiv:0710.2509, Дои:10.1142 / S0129167X11007379, МИСТЕР  2872533
• Тейт, Джон (1968), «Остатки дифференциалов на кривых», Научные анналы высшей нормальной школы, 4, 1 (1): 149–159