Поперечная мера - Transverse measure

В математика, а мера на настоящий векторное пространство как говорят поперечный к данному набору, если он присваивает измерять ноль каждому переведите этого множества, приписывая конечные и положительный (т.е. ненулевой) меры для некоторого компактный набор.

Определение

Позволять V быть реальным векторным пространством вместе с метрическое пространство структура, по отношению к которой это полное пространство. А Мера Бореля μ как говорят поперечный измеримому по Борелю подмножеству S из V если

• существует компактное подмножество K из V с 0 <μ(K) <+ ∞; и
• μ(v + S) = 0 для всех v ∈ V, куда

${ Displaystyle v + S = {v + s in V | s in S }}$

это перевод S к v.

Первое требование гарантирует, что, например, тривиальная мера не считается поперечной мерой.

Пример

В качестве примера возьмем V быть Евклидова плоскость р² с его обычной евклидовой нормой / метрической структурой. Определите меру μ на р² установив μ(E) быть одномерным Мера Лебега пересечения E с первой осью координат:

${ displaystyle mu (E) = lambda ^ {1} { big (} {x in mathbf {R} | (x, 0) in E substeq mathbf {R} ^ {2} }{большой )}.}$

Пример компакта K с положительным и конечным μ-мера есть K = B₁(0), закрытый шар о происхождении, которое имеет μ(K) = 2. Теперь возьмем множество S быть второй координатной осью. Любой перевод (v₁, v₂) + S из S встретится с первой координатной осью ровно в одной точке, (v₁, 0). Поскольку мера Лебега в одной точке равна нулю, μ((v₁, v₂) + S) = 0, поэтому μ поперек S.

Смотрите также

• Распространенные и застенчивые наборы

Рекомендации

• Хант, Брайан Р. и Зауэр, Тим и Йорк, Джеймс А. (1992). «Распространенность: трансляционно-инвариантный« почти каждый »на бесконечномерных пространствах». Бык. Амер. Математика. Soc. (Н.С.). 27 (2): 217–238. arXiv:математика / 9210220. Дои:10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2.CS1 maint: несколько имен: список авторов (связь)