В тригонометрия тетраэдра[1] объясняет отношения между длина и различные виды углы генерала тетраэдр.
Тригонометрические величины
Классические тригонометрические величины
Следующие тригонометрические величины обычно связаны с общим тетраэдром:
- 6 длина кромки - связаны с шестью ребрами тетраэдра.
- 12 углы лица - их по три на каждую из четырех граней тетраэдра.
- 6 двугранные углы - связаны с шестью ребрами тетраэдра, поскольку любые две грани тетраэдра соединены ребром.
- 4 телесные углы - связаны с каждой точкой тетраэдра.
Позволять
- общий тетраэдр, где
произвольные точки в трехмерное пространство.
Кроме того, пусть
быть гранью, которая соединяет
и
и разреши
быть гранью тетраэдра напротив точки
; другими словами:
![{ displaystyle e_ {ij} = { overline {P_ {i} P_ {j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88a416abc68c7be8e94a00bb96e1555a917e244f)
![{ displaystyle F_ {i} = { overline {P_ {j} P_ {k} P_ {l}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b232ebe614dabbfaadaf8d3632e6fac30ce7a4f)
куда
и
.
Определите следующие количества:
= длина края ![е_ {ij}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6a2274e22dc1d2778c28f3ce5b946d90ba2756)
= угловой разброс в точке
на лице ![F_ {j}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/625a3f4307a0bffa93067aa6586102dd82a27d9d)
= двугранный угол между двумя гранями, примыкающими к краю ![е_ {ij}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b6a2274e22dc1d2778c28f3ce5b946d90ba2756)
= телесный угол в точке ![Число Пи}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ba1396129f7be3c7f828a571b6649e6807d10d3)
Площадь и объем
Позволять
быть площадь лица
. Такую площадь можно рассчитать по Формула Герона (если известны все три длины ребра):
![Delta _ {i} = { sqrt { frac {(d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (- d_ {jk} + d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ { jk} -d_ {jl} + d_ {kl}) (d_ {jk} + d_ {jl} -d_ {kl})} {16}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62e89c417bf6c99cf2e806aceee4ededaf487068)
или по следующей формуле (если известны угол и два соответствующих ребра):
![Delta _ {i} = { frac {1} {2}} d_ {jk} d_ {jl} sin alpha _ {j, i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91db950e0ef8f3f560a00411eeae84c8b3717f0b)
Позволять
быть высота с точки
к лицу
. В объем
тетраэдра
дается следующей формулой:
![{ displaystyle V = { frac {1} {3}} Delta _ {i} h_ {i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75a767f41514ab6d8caba88321c8e4599997c73c)
Он удовлетворяет следующему соотношению:
[2]![{ displaystyle 288V ^ {2} = { begin {vmatrix} 2Q_ {12} & Q_ {12} + Q_ {13} -Q_ {23} & Q_ {12} + Q_ {14} -Q_ {24} Q_ {12} + Q_ {13} -Q_ {23} & 2Q_ {13} & Q_ {13} + Q_ {14} -Q_ {34} Q_ {12} + Q_ {14} -Q_ {24} & Q_ {13 } + Q_ {14} -Q_ {34} & 2Q_ {14} end {vmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77603179a81a01a4aaf9e3bfefbff11f4d30f84a)
куда
- квадранты (квадрат длины) ребер.
Основные положения тригонометрии
Аффинный треугольник
Возьми лицо
; края будут иметь длину
и соответствующие противоположные углы даются
.
Обычные законы для планарная тригонометрия треугольника справедливы для этого треугольника.
Проективный треугольник
Рассмотрим проективный (сферический) треугольник в момент
; вершинами этого проективного треугольника являются три прямые, соединяющие
с остальными тремя вершинами тетраэдра. Края будут иметь сферическую длину.
а соответствующие противоположные сферические углы задаются выражением
.
Обычные законы для сферическая тригонометрия для этого проективного треугольника.
Законы тригонометрии для тетраэдра
Теорема о переменных синусах
Возьмите тетраэдр
, и рассмотрим точку
как вершина. Теорема о переменных синусах задается следующим тождеством:
![{ displaystyle sin ( alpha _ {j, l}) sin ( alpha _ {k, j}) sin ( alpha _ {l, k}) = sin ( alpha _ {j, k }) sin ( alpha _ {k, l}) sin ( alpha _ {l, j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13048e650ab6cde18cb18fd06fbe117e8b102b60)
Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.
Пространство всех форм тетраэдров
![Tetra.png](//upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/1/13/Tetra.png/248px-Tetra.png)
Ставя любую из четырех вершин в роли О дает четыре таких тождества, но не более трех из них независимы; если стороны трех из четырех тождеств «по часовой стрелке» умножаются и произведение получается равным произведению сторон «против часовой стрелки» тех же трех тождеств, а затем удаляются общие множители с обеих сторон, результат четвертая личность.
Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180 ° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно, чтобы они были 12 углами какого-нибудь тетраэдра? Ясно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна составлять 180 °. Так как таких треугольников четыре, на суммы углов четыре таких ограничения, а количество степени свободы тем самым сокращается с 12 до 8. Четыре соотношения, заданные синус закон дополнительно уменьшите количество степеней свободы с 8 не до 4, а до 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров 5-мерное.[3]
Закон синусов для тетраэдра
Видеть: Закон синусов
Закон косинусов для тетраэдра
В закон косинусов для тетраэдра[4] связывает площади каждой грани тетраэдра и двугранные углы вокруг точки. Он задается следующим тождеством:
![Delta _ {i} ^ {2} = Delta _ {j} ^ {2} + Delta _ {k} ^ {2} + Delta _ {l} ^ {2} -2 ( Delta _ { j} Delta _ {k} cos theta _ {il} + Delta _ {j} Delta _ {l} cos theta _ {ik} + Delta _ {k} Delta _ {l} cos theta _ {ij})](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79f3fdb7186ec0c20149adbae1bb40787e9fb251)
Связь двугранных углов тетраэдра
Возьмите общий тетраэдр
и проецируйте лица
на самолет с лицом
. Позволять
.
Затем область лица
дается суммой проектируемых площадей следующим образом:
![{ displaystyle Delta _ {l} = Delta _ {i} c_ {jk} + Delta _ {j} c_ {ik} + Delta _ {k} c_ {ij}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c590bad0771c3b7189a721515ae511b9e18c4449)
Путем замены
![{ displaystyle i, j, k, l in {1,2,3,4 }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f74f31faad3538c85f23934254ed5099abb498bd)
с каждой из четырех граней тетраэдра получается следующая однородная система линейных уравнений:
![{ displaystyle { begin {cases} - Delta _ {1} + Delta _ {2} c_ {34} + Delta _ {3} c_ {24} + Delta _ {4} c_ {23} = 0 Delta _ {1} c_ {34} - Delta _ {2} + Delta _ {3} c_ {14} + Delta _ {4} c_ {13} = 0 Delta _ { 1} c_ {24} + Delta _ {2} c_ {14} - Delta _ {3} + Delta _ {4} c_ {12} = 0 Delta _ {1} c_ {23} + Delta _ {2} c_ {13} + Delta _ {3} c_ {12} - Delta _ {4} = 0 end {case}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3a58a60ca3c85d26fa7dd2956f53f1c0f3b57f4)
Эта однородная система будет иметь решения именно тогда, когда:
![{ displaystyle { begin {vmatrix} -1 & c_ {34} & c_ {24} & c_ {23} c_ {34} & - 1 & c_ {14} & c_ {13} c_ {24} & c_ {14} & - 1 & c_ {12} c_ {23} & c_ {13} & c_ {12} & - 1 end {vmatrix}} = 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8bf52729d76b48c2adba37e308ee604ad097478)
Расширяя этот определитель, получаем соотношение между двугранными углами тетраэдра:
[1] следующее:
![{ displaystyle 1- sum _ {1 leq i <j leq 4} c_ {ij} ^ {2} + sum _ {j = 2 на вершине k neq l neq j} ^ {4} c_ {1j} ^ {2} c_ {kl} ^ {2} = 2 left ( sum _ {i = 1 atop j neq k neq l neq i} ^ {4} c_ {ij} c_ { ik} c_ {il} + sum _ {2 leq j <k leq 4 atop l neq j, k} c_ {1j} c_ {1k} c_ {jl} c_ {kl} right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2fe6a082f8979e63aca26e78fda4ac9aae5772b3)
Расстояния между ребрами тетраэдра
Возьмите общий тетраэдр
и разреши
быть точкой на краю
и
быть точкой на краю
так что отрезок линии
перпендикулярно обоим
&
. Позволять
быть длиной отрезка
.
Найти
:[1]
Сначала проведите линию через
параллельно
и еще одна линия через
параллельно
. Позволять
быть пересечением этих двух прямых. Присоединяйтесь к точкам
и
. По конструкции,
является параллелограммом и, следовательно,
и
являются конгруэнтными треугольниками. Таким образом, тетраэдр
и
равны по объему.
Как следствие, количество
равна высоте от точки
к лицу
тетраэдра
; это показано переводом линейного сегмента
.
По формуле объема тетраэдр
удовлетворяет следующему соотношению:
![{ displaystyle 3V = R_ {ij} times Delta ({ overline {OP_ {i} P_ {j}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f78d6222f7e69cc40889873c91f56900d9512b4b)
куда
![{ displaystyle Delta ({ overline {OP_ {i} P_ {j}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d9898223ff6b69f85c03e6789dcad15df78339a)
это площадь треугольника
![{ displaystyle { overline {OP_ {i} P_ {j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1ea7b9d1c2531e81681f1ceda6dd2c4721100c5c)
. Поскольку длина отрезка
![{ displaystyle { overline {OP_ {i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44691eb464ab2b58f52bf940f0233326d8ca550a)
равно
![{ displaystyle d_ {kl}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/722d2e2842d16af78757aec4aa34b3f479e0529f)
(в качестве
![{ displaystyle { overline {OP_ {i} P_ {l} P_ {k}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3c354be8d14596319c1bcb2443fee5b780d1f366)
- параллелограмм):
![{ displaystyle Delta ({ overline {OP_ {i} P_ {j}}}) = { frac {1} {2}} d_ {ij} d_ {kl} sin lambda}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3399998d517deb45cdd006a58ad418c00b996488)
куда
![{ displaystyle lambda = angle OP_ {i} P_ {j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/322b367eb20d9551bb8ec87d3e4f083aedfa19b1)
. Таким образом, предыдущее отношение становится:
![{ Displaystyle 6V = R_ {ij} d_ {ij} d_ {kl} sin lambda}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7cc3322381d2901e3d088ab0b538f712f2b4a00d)
Чтобы получить
![{ displaystyle sin lambda}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24428802ffc1263e84bd28e40e22bab8aa5ec851)
, рассмотрим два сферических треугольника:
- Возьмите сферический треугольник тетраэдра
в момент
; у него будут стороны
и противоположные углы
. По сферическому закону косинусов:![{ Displaystyle соз альфа _ {я, к} = соз альфа _ {я, j} соз альфа _ {я, л} + грех альфа _ {я, j} грех альфа _ {i, l} cos theta _ {ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/364230fa2140afe0301e19a27ffb04bd6c0493ef)
- Возьмите сферический треугольник тетраэдра
в момент
. Стороны даны
и единственный известный противоположный угол - это угол
, данный
. По сферическому закону косинусов:![{ displaystyle cos lambda = cos alpha _ {i, l} cos alpha _ {k, j} - sin alpha _ {i, l} sin alpha _ {k, j} cos theta _ {ik}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/354bcc64c55c10d8851611d5b641c4cb4a38f3d5)
Объединение двух уравнений дает следующий результат:
![{ displaystyle cos alpha _ {i, k} sin alpha _ {k, j} + cos lambda sin alpha _ {i, j} = cos alpha _ {i, l} left ( cos alpha _ {i, j} sin alpha _ {k, j} + sin alpha _ {i, j} cos alpha _ {k, j} right) = cos альфа _ {я, l} sin alpha _ {l, j}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1556416d8e7945bd05da85fad6b317843b4d9a2b)
Изготовление
предмет:
![{ displaystyle cos lambda = cos alpha _ {i, l} { frac { sin alpha _ {l, j}} { sin alpha _ {i, j}}} - cos alpha _ {i, k} { frac { sin alpha _ {k, j}} { sin alpha _ {i, j}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bd790957d696e946e1a122e227bc08ca55552cf1)
Таким образом, используя закон косинуса и некоторую базовую тригонометрию:
![{ displaystyle cos lambda = { frac {d_ {ij} ^ {2} + d_ {ik} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}} {2d_ {ij} d_ {ik}}} { frac {d_ {ik}} {d_ {kl}}} - { frac {d_ {ij} ^ {2} + d_ {il} ^ {2} -d_ {jl} ^ {2}} {2d_ {ij} d_ {il}}} { frac {d_ {il}} {d_ {kl}}} = { frac {d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ { il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}} {2d_ {ij} d_ {kl}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62760010a1cde91e34022739e5ebec3e83993719)
Таким образом:
![{ displaystyle sin lambda = { sqrt {1- left ({ frac {d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ { jk} ^ {2}} {2d_ {ij} d_ {kl}}} right) ^ {2}}} = { frac { sqrt {4d_ {ij} ^ {2} d_ {kl} ^ {2 } - (d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}) ^ {2}}} {2d_ {ij} d_ {kl}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4baf689144de6889596413719405a3f79111a90f)
Так:
![{ displaystyle R_ {ij} = { frac {12V} { sqrt {4d_ {ij} ^ {2} d_ {kl} ^ {2} - (d_ {ik} ^ {2} + d_ {jl} ^ {2} -d_ {il} ^ {2} -d_ {jk} ^ {2}) ^ {2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/544a6cc4a1aeb311ef10716a998b8f7be7c67d69)
![Р_ {ik}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/807622f848b7ff6c4975a72ca84d38bc0bcd0d5b)
и
![{ displaystyle R_ {il}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77fe6b5a250c7a5e4e5cb4cb952eba6987d0007c)
получаются перестановкой длин ребер.
Обратите внимание, что знаменатель - это новая формулировка Формула Бретшнайдера-фон Штаудта, который оценивает площадь общего выпуклого четырехугольника.
Рекомендации