В математика, а точнее в анализ, то Интегралы Уоллиса составляют семью интегралы представлен Джон Уоллис.
Определение, основные свойства
В Интегралы Уоллиса являются членами последовательности
определяется
![{ displaystyle W_ {n} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47647776ba61c70a5ab19c93c9b8df8f0db95192)
или эквивалентно (заменой
),
![{ displaystyle W_ {n} = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} cos ^ {n} x , dx.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a8c0fb116c5e020a52251d1adf084a5900f0811)
Первые несколько членов этой последовательности:
![W_ {0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f541f57fd799ba5137a2e50a1a728dde4306c06) | ![W_1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74ab879909bd9762251f679bbb2fa738100baa45) | ![W_2](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/421467fcab2af38ddf3977b9adf66de8ef3abd57) | ![W_ {3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b87b911493067a5414c6bc6c4433ff3840062864) | ![W_4](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a976c59bf91696c4af8023b529364d4d9e2dc0) | ![W_ {5}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78c6e3bf9d672142434318668776a3be7c53e573) | ![W_ {6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2886a845a8e8bf797b690c4fa3cbaaa94dcd11c2) | ![W_ {7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/080ea71350fcad8153c3d5d381c84d552726258c) | ![W_ {8}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/50e6acccd31fa20256f36e62bc571894aa3afa69) | ... | ![W_ {n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fa0340872ef1d6511eaf27ed7c57f98589a693d) |
![{ frac { pi} {2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98f98bef5d4981ff6e2aa827d4699e347fb30db2) | ![1](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf) | ![frac { pi} {4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1f89d7c88c1c93dce69a46052a8e276e231063de) | ![{ frac {2} {3}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/19eee5d63f2cf9106dc531cdfdea8cfb8f34b2cf) | ![{ frac {3 pi} {16}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d6279daadbfa2bb454d7db40339692a44298ca23) | ![{ frac {8} {15}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06170be4ea30f4478fd5fe88791f008ddb490bb4) | ![{ frac {5 pi} {32}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b179f3e803bdec5b20399e59b6f1f3eddc2e24ee) | ![{ frac {16} {35}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d72ac366f9fb00c6e98ad9d620a14dd7247a5be) | ![{ frac {35 pi} {256}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e237d3627550585e65a0497f26b54e5b4508e472) | ... | ![{ displaystyle { frac {n-1} {n}} W_ {n-2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea96675005973b00d238248a588a251db3ceb49d) |
Последовательность
уменьшается и имеет положительные значения. Фактически, для всех ![{ displaystyle n geq 0:}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65fe007d36acc026adddb1df99eac3e72cca44b7)
потому что это интеграл неотрицательной непрерывной функции, не равной тождественно нулю;
опять же, потому что последний интеграл является неотрицательной функцией.
Поскольку последовательность
убывает и ограничивается снизу нулем, сходится к неотрицательному пределу. Действительно, предел равен нулю (см. Ниже).
Отношение рецидива
Посредством интеграция по частям, а отношение повторения может быть получен. Используя личность
у нас есть для всех
,
![{ displaystyle { begin {align} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n} x , dx & = int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} ( sin ^ {n-2} x) (1- cos ^ {2} x) , dx & = int _ {0} ^ { frac { pi} { 2}} sin ^ {n-2} x , dx- int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-2} x cos ^ {2} x , dx. qquad { text {Уравнение (1)}} end {align}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18fabd81c0df96f21541e936b4bee0a3337b2ab5)
Интегрируя второй интеграл по частям, с:
, чей антипроизводная является ![и (х) = { гидроразрыва {1} {п-1}} грех ^ {{п-1}} (х)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f007ea53f9d4636f25ed9009cdab09a4a3b19f4)
, чей производная является ![v '(х) = - грех (х)](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/662235527ba2c66d6030fd09e3906e94040b042b)
у нас есть:
![{ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-2} x cos ^ {2} x , dx = left [{ frac { sin ^ {n-1} x} {n-1}} cos x right] _ {0} ^ { frac { pi} {2}} + { frac {1} {n-1}} int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {n-1} x sin x , dx = 0 + { frac {1} {n-1}} W_ {n }.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9bc041e854a7886c226ea1ef97744ddfec878b4)
Подставляя этот результат в уравнение (1), получаем
![{ displaystyle W_ {n} = W_ {n-2} - { frac {1} {n-1}} W_ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab22dae9328b209579e36afc017bd0efb329f74b)
и поэтому
![{ displaystyle W_ {n} = { frac {n-1} {n}} W_ {n-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2cf28351acf5b971a65463a261a4c8a2f2b475c)
для всех ![{ displaystyle n geq 2.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12579de3af09ac1e4dd0c0724536b2361760f498)
Это рекуррентное соотношение, дающее
с точки зрения
. Это вместе со значениями
и
дадут нам два набора формул для членов последовательности
, в зависимости от того,
нечетное или четное:
![{ displaystyle W_ {2p} = { frac {2p-1} {2p}} cdot { frac {2p-3} {2p-2}} cdots { frac {1} {2}} W_ { 0} = { frac {(2p-1) !!} {(2p) !!}} cdot { frac { pi} {2}} = { frac {(2p)!} {2 ^ { 2p} (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e64a2405d899e3945ce92fd81f638f9ae686ea07)
![{ Displaystyle W_ {2p + 1} = { frac {2p} {2p + 1}} cdot { frac {2p-2} {2p-1}} cdots { frac {2} {3}} W_ {1} = { frac {(2p) !!} {(2p + 1) !!}} = { frac {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}} {(2p + 1) !}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1856b66b85f50b7de264352efdceaa5a397d5328)
Другое отношение для оценки интегралов Уоллиса
Интегралы Уоллиса можно вычислить, используя Интегралы Эйлера:
- Эйлер интеграл первого вида: the Бета-функция:
за Re (Икс), Re (у) > 0
- Интеграл Эйлера второго рода: the Гамма-функция:
за Re (z) > 0.
Если мы сделаем следующую замену внутри бета-функции:![{ Displaystyle quad left {{ begin {matrix} t = sin ^ {2} u 1-t = cos ^ {2} u dt = 2 sin u cos u, , du end {matrix}} right.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c87189c8c6c5d5b0780446182b472fe5349a40ab)
мы получаем:
![{ displaystyle mathrm {B} (a, b) = 2 int _ {0} ^ { frac { pi} {2}} sin ^ {2a-1} u cos ^ {2b-1} и , ду,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00be5a324fdbb56e365d69ee4e744e464a3d55fa)
Таким образом, это дает нам следующее соотношение для вычисления интегралов Уоллиса:
![{ displaystyle W_ {n} = { frac {1} {2}} mathrm {B} left ({ frac {n + 1} {2}}, { frac {1} {2}} right) = { frac { Gamma left ({ tfrac {n + 1} {2}} right) Gamma left ({ tfrac {1} {2}} right)} {2 , Gamma left ({ tfrac {n} {2}} + 1 right)}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bf50a9a90404c2491f3de05431e60ae279d468f)
Итак, для нечетных
, письмо
, у нас есть:
![{ Displaystyle W_ {2p + 1} = { frac { Gamma left (p + 1 right) Gamma left ({ frac {1} {2}} right)} {2 , Gamma left (p + 1 + { frac {1} {2}} right)}} = { frac {p! Gamma left ({ frac {1} {2}} right)} {( 2p + 1) , Gamma left (p + { frac {1} {2}} right)}} = { frac {2 ^ {p} ; p!} {(2p + 1) !! }} = { frac {2 ^ {2 , p} ; (p!) ^ {2}} {(2p + 1)!}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e315bcb8dbe468d791f2e0aef9666054bc3a55de)
тогда как даже
, письмо
и зная, что
, мы получили :
![{ displaystyle W_ {2p} = { frac { Gamma left (p + { frac {1} {2}} right) Gamma left ({ frac {1} {2}} right)} {2 , Gamma left (p + 1 right)}} = { frac {(2p-1) !! ; pi} {2 ^ {p + 1} ; p!}} = { frac {(2p)!} {2 ^ {2 , p} ; (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef949047464423028a6277e13aa68497e443a611)
Эквивалентность
- Из приведенной выше формулы повторения
, мы можем сделать вывод, что
(эквивалентность двух последовательностей).
- Действительно, для всех
:
(так как последовательность убывает)
(поскольку
)
(по уравнению
).- Посредством теорема о сэндвиче, заключаем, что
, и поэтому
.
- Изучая
, получаем следующую эквивалентность:
( и следовательно
).
Доказательство
Для всех
, позволять
.
Оказывается, что,
из-за уравнения
.Другими словами
является константой.
Отсюда следует, что для всех
,
.
Теперь, поскольку
и
, по правилам произведения эквивалентов имеем
.
Таким образом,
, откуда следует желаемый результат (учитывая, что
).
Вывод формулы Стирлинга
Предположим, что у нас есть следующая эквивалентность (известная как Формула Стирлинга ):
![{ displaystyle n! sim C { sqrt {n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd7b806955b7a9524f975e805a8a896563d392c4)
для некоторой постоянной
что мы хотим определить. Сверху у нас есть
(уравнение (3))
Расширение
и используя приведенную выше формулу для факториалов, мы получаем
![{ displaystyle { begin {align} W_ {2p} & = { frac {(2p)!} {2 ^ {2p} (p!) ^ {2}}} cdot { frac { pi} { 2}} & sim { frac {C left ({ frac {2p} {e}} right) ^ {2p} { sqrt {2p}}} {2 ^ {2p} C ^ { 2} left ({ frac {p} {e}} right) ^ {2p} left ({ sqrt {p}} right) ^ {2}}} cdot { frac { pi} {2}} & = { frac { pi} {C { sqrt {2p}}}}. { Text {(уравнение (4))}} end {выровнено}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88e46f118d7cf59937c3e8bc7fa12bbd3307b86c)
Из (3) и (4) по транзитивности получаем:
![{ displaystyle { frac { pi} {C { sqrt {2p}}}} sim { frac { sqrt { pi}} {2 { sqrt {p}}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22c4251b94fb54e4f7446a7279551d7c2d67626c)
Решение для
дает
Другими словами,
![{ displaystyle n! sim { sqrt {2 pi n}} left ({ frac {n} {e}} right) ^ {n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3b3c28f23e205ed542a2b9bbeff5c56db3881877)
Вычисление гауссова интеграла
В Гауссов интеграл можно оценить с помощью интегралов Уоллиса.
Сначала докажем следующие неравенства:
![forall n in { mathbb N} ^ {*} quad forall u in { mathbb R} _ {+} quad u leqslant n quad Rightarrow quad (1-u / n) ^ {п} leqslant e ^ {{- u}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c8d809a6e196a53cfde30077d994a36df1da613a)
![forall n in { mathbb N} ^ {*} quad forall u in { mathbb R} _ {+} qquad e ^ {{- u}} leqslant (1 + u / n) ^ {{-n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5aeda4c85f248f9381080ef840aac8206f55b628)
Фактически, позволяя
, первое неравенство (в котором
) эквивалентно
; второе неравенство сводится к
, который становится
Эти два последних неравенства следуют из выпуклости экспоненциальной функции (или из анализа функции
).
Сдача
и используя основные свойства несобственных интегралов (сходимость интегралов очевидна), получаем неравенства:
для использования с теорема о сэндвиче (в качестве
).
Первый и последний интегралы легко вычисляются с помощью интегралов Уоллиса. Пусть для первого интегралы
(t изменяется от 0 до
Тогда интеграл принимает вид
.Для последнего интеграла положим
(t варьируется от
к
), Тогда он становится
.
Как мы показали ранее,
. Отсюда следует, что
.
Замечание: Существуют и другие методы вычисления интеграла Гаусса, некоторые из них более прямой.
Примечание
Те же свойства приводят к Уоллис продукт, который выражает
(видеть
) в виде бесконечный продукт.
внешняя ссылка
- Паскаль Себа и Ксавье Гурдон. Введение в гамма-функцию. В PostScript и HTML форматы.