Матрица Уолша порядка 16, умноженная на вектор
Естественно упорядоченная матрица Адамара переставлена в упорядоченную матрицу Адамара. Число смен знака на строку в естественно упорядоченной матрице равно (0, 15, 7, 8, 3, 12, 4, 11, 1, 14, 6, 9, 2, 13, 5, 10) в последовательности -упорядоченная матрица количество смен знака последовательное.
Двоичная матрица Уолша как
матричный продукт. Двоичная матрица (белый 0, красный 1) является результатом операций в
F2. Серые числа показывают результат операций в
р.
В математика, а Матрица Уолша это конкретный квадратная матрица размеров 2п, где п - какое-то конкретное натуральное число. Элементы матрицы равны +1 или -1, а ее строки и столбцы ортогональны, т.е. скалярное произведение равно нулю. Матрица Уолша была предложена Джозеф Л. Уолш в 1923 г.[1] Каждая строка матрицы Уолша соответствует Функция Уолша.
В естественно заказал Матрица Адамара определяется рекурсивный формула ниже, а упорядоченный по порядку Матрица Адамара формируется путем перестановки строк таким образом, чтобы количество смен знака в строке было в порядке возрастания.[1] Как ни странно, разные источники называют любую матрицу матрицей Уолша.
Матрица Уолша (и Функции Уолша ) используются при вычислении Преобразование Уолша и иметь приложения для эффективного выполнения определенных операций обработки сигналов.
Формула
Матрицы Адамара размерности 2k для k ∈ N задаются рекурсивной формулой (нижний порядок матрицы Адамара равен 2):
![{ displaystyle { begin {align} H left (2 ^ {1} right) & = { begin {bmatrix} 1 & 1 1 & -1 end {bmatrix}}, H left (2 ^ {2} right) & = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 end {bmatrix}}, end {выровнено} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9da599cb5c04965aac8c81489509bab866d29cd6)
и вообще
![{ Displaystyle H left (2 ^ {k} right) = { begin {bmatrix} H left (2 ^ {k-1} right) & H left (2 ^ {k-1} right) H left (2 ^ {k-1} right) & - H left (2 ^ {k-1} right) end {bmatrix}} = H (2) otimes H left (2 ^ {k-1} right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e5102b880b693b01fcb6929985006ad7e2244)
для 2 ≤k ∈ N, где ⊗ обозначает Кронекер продукт.
Перестановка
Переставьте строки матрицы в соответствии с количеством смен знака каждой строки. Например, в
![{ Displaystyle H (4) = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 end {bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb67a4d557226b961e7bcf35b82c17b7bad236d8)
в следующих друг за другом строках знак меняется на 0, 3, 1 и 2. Если мы переставим строки в последовательном порядке:
![{ Displaystyle W (4) = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 end {bmatrix}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11d1b3dc4d3b23dfa73150f9a6f7adb2c2f211fc)
то в следующих друг за другом строках знак меняется на 0, 1, 2 и 3.
Альтернативные формы матрицы Уолша
Порядок частот
Порядок последовательности строк матрицы Уолша может быть получен из упорядочивания матрицы Адамара, сначала применяя перестановка с обращением битов а затем Код Грея перестановка:[2]
![{ Displaystyle W (8) = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 end {bmatrix}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2d8182bd22e3417054a4eb3c210af7f80edc5099)
где в следующих друг за другом строках знак меняется на 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7.
Диадический порядок
![{ Displaystyle W (8) = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 end {bmatrix}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4975870984d69e0d92a3a155b093e02164b0c812)
где в следующих друг за другом строках знак меняется на 0, 1, 3, 2, 7, 6, 4 и 5.
Естественный порядок
![{ displaystyle W (8) = { begin {bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 & 1 & -1 1 & 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 1 & -1 & -1 & 1 & 1 & -1 & -1 & 1 1 & 1 & 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 1 & -1 & 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 1 & 1 & -1 & -1 & -1 & -1 & -1 & 1 1 & -1 & -1 & 1 & -1 & 1 & 1 & -1 end {bmatrix}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/357b5351a897eb0bcb6b2738c736654e06ddb618)
где следующие друг за другом строки меняют знак на 0, 7, 3, 4, 1, 6, 2 и 5.
Смотрите также
Заметки