Неописуемый кардинал - Indescribable cardinal

В математика, а Q-неописуемый кардинал это определенный вид большой кардинал число, которое трудно описать на каком-либо языке Q. Есть много разных типов неописуемых кардиналов, соответствующих разному выбору языков. Q. Их представил Ханф и Скотт (1961).

Кардинальное число κ называется Πп
м-неописуемый если для каждого Πм предложение φ, и положим A ⊆ Vκ с (Vκ + n, ∈, A) ⊧ φ существует α <κ такое, что (Vα + n, ∈, A ∩ VαЗдесь рассматриваются формулы с m-1 чередованием кванторов, причем самый внешний квантор является универсальным. Σп
м-неописуемый кардиналы определяются аналогичным образом. Идея состоит в том, что κ нельзя отличить (глядя снизу) от меньших кардиналов с помощью любой формулы логики n + 1-го порядка с m-1 чередованием кванторов, даже с преимуществом дополнительного унарного символа предиката (для A). Это означает, что он большой, потому что это означает, что должно быть много меньших кардиналов с аналогичными свойствами.

Кардинальное число κ называется совершенно неописуемый если это Πп
м-неописуемо для всех натуральных чисел м и п.

Если α - ординал, то кардинальное число κ называется α-неописуемый если для каждой формулы φ и любого подмножества U из Vκ такое, что φ (U) держится в Vκ + α существует некоторое λ <κ такое, что φ (U ∩ Vλ) держится в Vλ + α. Если α бесконечно, то α-неописуемые ординалы совершенно неописуемы, а если α конечно, они такие же, какα
ω-неописуемые ординалы. α-неописуемость означает, что α <κ, но существует альтернативное понятие проницательные кардиналы что имеет смысл при α≥κ: существуют λ <κ и β такие, что φ (U ∩ Vλ) держится в Vλ + β.

Π1
1-неописуемые кардиналы такие же, как слабо компактные кардиналы.

Кардинал недоступен тогда и только тогда, когда он Π0
п-неописуемо для всех натуральных чисел п, эквивалентно тогда и только тогда, когда0
2-неописуемо, эквивалентно тогда и только тогда, когда это Σ1
1-неописуемо. Кардинал - это Σ1
п + 1-неописуемо тогда и только тогда, когда1
п-неописуемо. Свойство быть1
п-неописуемо1
п + 1. При m> 1 свойство бытьм
п-неописуемо Σм
п и свойство быть Σм
п-неописуемом
п. Таким образом, при m> 1 любой кардинал, равный Πм
п + 1-неописуемо или Σм
п + 1-неописуемо одновременном
п-неописуемо и Σм
п-неописуемо и множество таких кардиналов под ним стационарно. Прочность согласованности Σм
п-неописуемые кардиналы ниже, чем у Πм
п-неописуемо, но при m> 1 согласовано с ZFC, что наименьшее Σм
п-неописуемое существует и выше наименьшего Πм
п-неописуемый кардинал (это доказывается из согласованности ZFC с Πм
п-неописуемый кардинал и Σм
п-неописуемый кардинал над ним).

Измеримые кардиналы Π2
1-неописуемо, но наименьший измеримый кардинал не Σ2
1-неописуемо. Однако есть много совершенно неописуемых кардиналов ниже любого измеримого кардинала.

Совершенно неописуемые кардиналы остаются совершенно неописуемыми в мире. конструируемая вселенная и в других канонических внутренних моделях, и аналогично для Πм
п и Σм
п неописуемость.

Рекомендации

  • Дрейк, Ф. Р. (1974). Теория множеств: Введение в большие кардиналы (Исследования по логике и основам математики; т. 76). Elsevier Science Ltd. ISBN  0-444-10535-2.
  • Hanf, W. P .; Скотт, Д.С. (1961), «Классификация недоступных кардиналов», Уведомления Американского математического общества, 8: 445, ISSN  0002-9920
  • Канамори, Акихиро (2003). Высшая бесконечность: большие кардиналы в теории множеств с самого начала (2-е изд.). Springer. Дои:10.1007/978-3-540-88867-3_2. ISBN  3-540-00384-3.