Фильтр твердых частиц - Particle filter - Wikipedia

Фильтры твердых частиц или же Последовательный Монте-Карло (SMC) методы представляют собой набор Монте-Карло алгоритмы, используемые для решения проблемы с фильтрацией возникающий в обработка сигналов и Байесовский статистический вывод. В проблема фильтрации состоит из оценки внутренних состояний в динамические системы когда производятся частичные наблюдения и случайные возмущения присутствуют как в датчиках, так и в динамической системе. Цель состоит в том, чтобы вычислить апостериорные распределения государств некоторых Марковский процесс, учитывая некоторые шумные и частичные наблюдения. Термин «фильтры твердых частиц» впервые был введен в употребление в 1996 г. Дель Мораль.[1] в отношении методы взаимодействующих частиц среднего поля используется в механике жидкости с начала 1960-х годов. Термин «последовательный Монте-Карло» был придуман Лю и Ченом в 1998 году.[2]

Фильтрация частиц использует набор частиц (также называемых образцами) для представления апостериорное распределение некоторых случайный процесс учитывая шумные и / или частичные наблюдения. Модель в пространстве состояний может быть нелинейной, а начальное состояние и распределения шума могут принимать любую требуемую форму. Методы фильтрации твердых частиц обеспечивают хорошо отработанную методологию[1][3][4] для генерации выборок из требуемого распределения, не требуя предположений о модели пространства состояний или распределениях состояний. Однако эти методы не работают хорошо при применении к очень многомерным системам.

Фильтры частиц обновляют свои прогнозы приблизительным (статистическим) способом. Выборки из распределения представлены набором частиц; каждой частице присвоен вес правдоподобия, который представляет вероятность того, что эта частица будет выбрана из функции плотности вероятности. Несоответствие веса, ведущее к коллапсу веса, является распространенной проблемой, с которой сталкиваются эти алгоритмы фильтрации; однако его можно уменьшить, включив шаг повторной выборки до того, как веса станут слишком неравномерными. Можно использовать несколько адаптивных критериев повторной выборки, включая дисперсию весов и относительную энтропию относительно равномерного распределения.[5] На этапе повторной выборки частицы с незначительным весом заменяются новыми частицами в непосредственной близости от частиц с более высоким весом.

Со статистической и вероятностной точки зрения фильтры частиц можно интерпретировать как частица среднего поля интерпретации Фейнман-Кац вероятностные меры.[6][7][8][9][10] Эти методы интеграции частиц были разработаны в молекулярная химия и вычислительной физики Теодор Э. Харрис и Герман Кан в 1951 г., Маршалл Н. Розенблут и Арианна В. Розенблут в 1955 г.[11] и совсем недавно Джеком Х. Хетерингтоном в 1984 году.[12] В вычислительной физике эти методы интегрирования частиц по траектории типа Фейнмана-Каца также используются в Квантовый Монте-Карло, и, более конкретно Диффузионные методы Монте-Карло.[13][14][15] Методы взаимодействующих частиц Фейнмана-Каца также тесно связаны с генетические алгоритмы мутационного отбора в настоящее время используется в эволюционные вычисления для решения сложных задач оптимизации.

Методология фильтрации частиц используется для решения Скрытая марковская модель (HMM) и нелинейная фильтрация проблемы. За заметным исключением линейно-гауссовых моделей наблюдения сигналов (Фильтр Калмана ) или более широкие классы моделей (фильтр Бенеша[16]) Мирей Шалея-Морель и Доминик Мишель доказали в 1984 году, что последовательность апостериорных распределений случайных состояний сигнала при данных наблюдениях (также известный как оптимальный фильтр) не имеет конечно-рекурсивной рекурсии.[17] Различные другие численные методы, основанные на приближении фиксированной сетки, Цепь Маркова Монте-Карло методы (MCMC), обычная линеаризация, расширенные фильтры Калмана, или определение наилучшей линейной системы (в смысле ожидаемых затрат и ошибок) не могут справиться с крупномасштабными системами, нестабильными процессами или когда нелинейности недостаточно гладкие.

Фильтры твердых частиц и методологии частиц Фейнмана-Каца находят применение в обработка сигналов и изображений, Байесовский вывод, машинное обучение, анализ рисков и выборка редких событий, инженерное дело и робототехника, искусственный интеллект, биоинформатика,[18] филогенетика, вычислительная наука, Экономика и математические финансы, молекулярная химия, вычислительная физика, фармакокинетический и другие поля.

История

Эвристические подобные алгоритмы

Со статистической и вероятностной точек зрения фильтры твердых частиц относятся к классу разветвление /алгоритмы генетического типа, и методологии взаимодействующих частиц типа среднего поля. Интерпретация этих методов частиц зависит от научной дисциплины. В Эволюционные вычисления, частица генетического типа среднего поля часто используются как эвристические алгоритмы и алгоритмы естественного поиска (также известные как Метаэвристический ). В вычислительная физика и молекулярная химия они используются для решения задач интегрирования по путям Фейнмана-Каца, или они вычисляют меры Больцмана-Гиббса, верхние собственные значения и основные состояния Шредингер операторы. В Биология и Генетика они также представляют собой эволюцию популяции людей или генов в некоторой среде.

Истоки эволюционных вычислительных методов типа среднего поля можно проследить до 1950 и 1954 гг. Алан Тьюринг на обучающих машинах по генетическому типу мутации[19] и статьи Нильс Алл Барричелли на Институт перспективных исследований в Принстон, Нью-Джерси.[20][21] Первый след фильтров твердых частиц в статистическая методология восходит к середине 1950-х годов; "Монте-Карло бедняков",[22] это было предложено Хаммерсли и др. в 1954 году, содержало намеки на методы фильтрации частиц генетического типа, используемые сегодня. В 1963 г. Нильс Алл Барричелли смоделировал алгоритм генетического типа, чтобы имитировать способность людей играть в простую игру.[23] В эволюционные вычисления В литературе алгоритмы отбора мутаций генетического типа стали популярными благодаря плодотворной работе Джона Холланда в начале 1970-х годов, и особенно его книге[24] опубликовано в 1975 году.

В биологии и Генетика, австралийский генетик Алекс Фрейзер также опубликовал в 1957 г. серию работ по моделированию генетического типа искусственный отбор организмов.[25] Компьютерное моделирование эволюции биологами стало более распространенным в начале 1960-х годов, и методы были описаны в книгах Фрейзера и Бернелла (1970).[26] и Кросби (1973).[27] Моделирование Фрейзера включало все основные элементы современных алгоритмов генетических частиц с отбором мутаций.

С математической точки зрения, условное распределение случайных состояний сигнала при некоторых частичных и зашумленных наблюдениях описывается вероятностью Фейнмана-Каца на случайных траекториях сигнала, взвешенных последовательностью потенциальных функций правдоподобия.[6][7] Квантовый Монте-Карло, и, более конкретно Диффузионные методы Монте-Карло может также интерпретироваться как приближение частиц генетического типа среднего поля интегралов по траекториям Фейнмана-Каца.[6][7][8][12][13][28][29] Истоки методов квантового Монте-Карло часто приписывают Энрико Ферми и Роберту Рихтмайеру, которые в 1948 году разработали интерпретацию цепных нейтронных реакций частицами среднего поля.[30] но первый эвристический алгоритм частиц генетического типа (также известный как методы повторной выборки или реконфигурации Монте-Карло) для оценки энергий основного состояния квантовых систем (в сокращенных матричных моделях) был создан Джеком Х. Хетерингтоном в 1984 году.[12] Можно также процитировать более ранние основополагающие работы Теодор Э. Харрис и Герман Кан по физике элементарных частиц, опубликованный в 1951 году, с использованием генетических методов среднего поля, но схожих с эвристикой, для оценки энергий прохождения частиц.[31] В молекулярной химии использование генетических эвристических методологий частиц (также известных как стратегии обрезки и обогащения) можно проследить еще в 1955 году, благодаря основополагающей работе Маршалла. Н. Розенблют и Арианна. В. Розенблют.[11]

Использование алгоритмы генетических частиц в продвинутых обработка сигналов и Байесовский вывод более свежий. В январе 1993 года Генширо Китагава разработал «фильтр Монте-Карло»,[32] слегка измененная версия этой статьи появилась в 1996 году.[33] В апреле 1993 года Гордон и др. Опубликовали в своей основополагающей работе[34] применение алгоритма генетического типа в байесовском статистическом выводе. Авторы назвали свой алгоритм «бутстрап-фильтром» и продемонстрировали, что по сравнению с другими методами фильтрации их самонастраивающийся алгоритм не требует каких-либо предположений об этом пространстве состояний или шумах системы. Независимо от Пьера Дель Мораля[1] и Химилькон Карвалью, Пьер Дель Мораль, Андре Монен и Жерар Салют[35] о фильтрах твердых частиц, опубликованных в середине 1990-х годов. Фильтры частиц также были разработаны для обработки сигналов в начале 1989-1992 годов П. Дель Мораль, Дж. К. Нойер, Г. Ригал и Г. Салют в LAAS-CNRS в серии закрытых и секретных исследовательских отчетов с STCAN (Service Technique des Constructions et Armes Navales), ИТ-компанию DIGILOG и LAAS-CNRS (Лаборатория анализа и архитектуры систем) по проблемам обработки сигналов RADAR / SONAR и GPS.[36][37][38][39][40][41]

Математические основы

С 1950 по 1996 год все публикации по фильтрам частиц, генетическим алгоритмам, включая методы отсечения и повторной выборки Монте-Карло, представленные в вычислительной физике и молекулярной химии, представляют естественные и эвристические алгоритмы, применяемые к различным ситуациям без единого доказательства их согласованности. ни обсуждение предвзятости оценок и алгоритмов, основанных на генеалогии и древе предков.

Математические основы и первый строгий анализ этих алгоритмов частиц принадлежит Пьеру Дель Моралю.[1][3] в 1996 г. В статье[1] также содержит доказательство несмещенных свойств частиц приближения функций правдоподобия и ненормализованных условная возможность меры. Несмещенная оценка частиц функций правдоподобия, представленная в этой статье, сегодня используется в байесовских статистических выводах.

К концу 1990-х годов Дэн Крисан, Джессика Гейнс и Терри Лайонс разработали методологии частиц ветвящегося типа с различными размерами населения.[42][43][44] и Дэном Крисаном, Пьером Дель Моралем и Терри Лайонсом.[45] Дальнейшие разработки в этой области были разработаны в 2000 г. П. Дель Мораль, А. Гионне и Л. Микло.[7][46][47] Первые центральные предельные теоремы принадлежат Пьеру Дель Моралю и Алисе Гионне.[48] в 1999 году и Пьер Дель Мораль и Лоран Микло[7] в 2000 г. Первые результаты равномерной сходимости по параметру времени для фильтров твердых частиц были получены в конце 1990-х годов Пьером Дель Моралем и Алисой Гионне.[46][47] Первый тщательный анализ сглаживающих устройств на основе генеалогического дерева был проведен П. Дель Моралем и Л. Микло в 2001 г.[49]

Теория методологии частиц Фейнмана-Каца и связанных алгоритмов фильтров частиц была разработана в 2000 и 2004 годах в книгах.[7][4] Эти абстрактные вероятностные модели инкапсулируют алгоритмы генетического типа, фильтры частиц и бутстраповские фильтры, взаимодействующие фильтры Калмана (также известные как фильтр частиц Рао – Блэквелла.[50]), выборки по важности и методы фильтрации частиц в стиле повторной выборки, включая методы на основе генеалогического дерева и методы обратного преобразования частиц для решения проблем фильтрации и сглаживания. Другие классы методологий фильтрации частиц включают модели на основе генеалогического дерева,[9][4][51] обратные модели марковских частиц,[9][52] адаптивные модели частиц среднего поля,[5] модели частиц островного типа,[53][54] и методологии Монте-Карло цепи Маркова частиц.[55][56]

Проблема фильтрации

Цель

Цель фильтра частиц - оценить апостериорную плотность переменных состояния с учетом переменных наблюдения. Фильтр твердых частиц предназначен для скрытая марковская модель, где система состоит как из скрытых, так и из наблюдаемых переменных. Наблюдаемые переменные (процесс наблюдения) связаны со скрытыми переменными (состояние-процесс) некоторой известной функциональной формой. Подобным образом динамическая система, описывающая эволюцию переменных состояния, также известна вероятностно.

Стандартный фильтр частиц оценивает апостериорное распределение скрытых состояний, используя процесс измерения наблюдения. Рассмотрим пространство состояний, показанное на диаграмме ниже.

Задача фильтрации - оценить последовательно значения скрытых состояний , учитывая ценности процесса наблюдения в любой момент времени k.

Все байесовские оценки следовать из задняя плотность п(Иксk | у0,у1,…,уk). Методология фильтрации частиц обеспечивает приближение этих условных вероятностей с использованием эмпирической меры, связанной с алгоритмом частиц генетического типа. Напротив, MCMC или же выборка по важности подход будет смоделировать полный задний п(Икс0,Икс1,…,Иксk | у0,у1,…,уk).

Модель наблюдения за сигналом

Методы частиц часто предполагают и наблюдения можно смоделировать в таком виде:

  • это Марковский процесс на (для некоторых ), которая эволюционирует согласно плотности переходной вероятности . Эта модель также часто записывается синтетическим способом как
с начальной плотностью вероятности .
  • Наблюдения принимать значения в некотором пространстве состояний на (для некоторых ) и условно независимы при условии, что известны. Другими словами, каждый зависит только от . Кроме того, мы предполагаем условное распределение для данный абсолютно непрерывны, и синтетическим путем мы имеем

Пример системы с этими свойствами:

где оба и взаимно независимые последовательности с известными функции плотности вероятности и грамм и час - известные функции. Эти два уравнения можно рассматривать как пространство состояний уравнения и похожи на уравнения пространства состояний для фильтра Калмана. Если функции грамм и час в приведенном выше примере являются линейными, и если оба и находятся Гауссовский, фильтр Калмана находит точное распределение байесовской фильтрации. Если нет, методы на основе фильтра Калмана являются приближением первого порядка (EKF ) или приближения второго порядка (UKF в целом, но если распределение вероятностей гауссово, возможно приближение третьего порядка).

Предположение об абсолютной непрерывности начального распределения и переходов цепи Маркова относительно меры Лебега можно ослабить. Чтобы разработать фильтр частиц, нам просто нужно предположить, что мы можем семплировать переходы цепи Маркова и вычислить функцию правдоподобия (см., например, описание мутации генетической селекции фильтра частиц, приведенное ниже). Абсолютно непрерывное предположение о марковских переходах используются только для получения неформальным (и довольно оскорбительным) способом разных формул между апостериорными распределениями с использованием правила Байеса для условных плотностей.

Приближенные байесовские модели вычислений

В некоторых задачах условное распределение наблюдений с учетом случайных состояний сигнала может не иметь плотности или может быть невозможно или слишком сложно вычислить.[18] В этой ситуации нам нужно прибегнуть к дополнительному уровню приближения. Одна из стратегий - заменить сигнал цепью Маркова и ввести виртуальное наблюдение вида

для некоторой последовательности независимых последовательностей с известными функции плотности вероятности. Основная идея состоит в том, чтобы заметить, что

Фильтр частиц, связанный с марковским процессом учитывая частичные наблюдения определяется в терминах частиц, эволюционирующих в с функцией правдоподобия, заданной с некоторыми очевидными оскорбительными обозначениями . Эти вероятностные методы тесно связаны с Приближенное байесовское вычисление (ABC). В контексте фильтров твердых частиц эти методы фильтрации частиц ABC были введены в 1998 г. П. Дель Моралем, Дж. Джакодом и П. Проттером.[57] Дальнейшее развитие они получили П. Дель Мораль, А. Дусе и А. Ясра.[58][59]

Уравнение нелинейной фильтрации

Правило Байеса для условной вероятности дает:

куда

Фильтры твердых частиц также являются приблизительными, но при достаточном количестве частиц они могут быть гораздо более точными.[1][3][4][46][47] Уравнение нелинейной фильтрации задается рекурсией

 

 

 

 

(Уравнение 1)

с условием за k = 0. Задача нелинейной фильтрации состоит в последовательном вычислении этих условных распределений.

Формулировка Фейнмана-Каца

Зафиксируем временной горизонт n и последовательность наблюдений , и для каждого k = 0, ..., п мы установили:

В этих обозначениях для любой ограниченной функции F на множестве траекторий от происхождения k = 0 до времени k = п, имеем формулу Фейнмана-Каца

Эти модели интеграции пути Фейнмана-Каца возникают в различных научных дисциплинах, включая вычислительную физику, биологию, теорию информации и компьютерные науки.[7][9][4] Их интерпретация зависит от области применения. Например, если мы выберем индикаторную функцию некоторого подмножества пространства состояний, они представляют условное распределение цепи Маркова при условии, что она остается в данной трубке; то есть у нас есть:

и

как только нормирующая постоянная станет строго положительной.

Фильтры твердых частиц

Алгоритм частиц генетического типа

Первоначально мы начинаем с N независимые случайные величины с общей плотностью вероятности . Генетический алгоритм выборочно-мутационных переходов[1][3]

имитировать / аппроксимировать переходы обновления-прогнозирования оптимальной эволюции фильтра (Уравнение 1):

  • Во время перехода от выбора к обновлению мы пробуем N (условно) независимые случайные величины с общим (условным) распределением
  • Во время перехода от мутации к предсказанию от каждой выбранной частицы мы самостоятельно сэмплируем переход

В приведенных выше формулах обозначает функцию правдоподобия оценивается в , и обозначает условную плотность оценивается в .

Каждый раз k, имеем приближения частиц

и

В генетических алгоритмах и Эволюционные вычисления В сообществе, описанная выше цепь Маркова мутации-отбор часто называется генетическим алгоритмом с пропорциональным отбором. Также в статьях было предложено несколько вариантов ветвления, в том числе со случайными размерами популяции.[4][42][45]

Принципы Монте-Карло

Методы частиц, как и все подходы, основанные на отборе проб (например, MCMC ), сгенерируйте набор выборок, которые приблизительно соответствуют плотности фильтрации

Например, у нас может быть N выборки из приблизительного апостериорного распределения , где образцы помечены верхним индексом как

Тогда ожидания относительно распределения фильтрации аппроксимируются следующим образом:

 

 

 

 

(Уравнение 2)

с

куда стоит за Мера Дирака в данном состоянии a. Функция жобычным для Монте-Карло способом может дать все моменты и т.д. распределения с точностью до некоторой ошибки аппроксимации. Когда аппроксимационное уравнение (Уравнение 2) выполняется для любой ограниченной функции ж мы пишем

Фильтры частиц можно интерпретировать как алгоритм частиц генетического типа, развивающийся с переходами мутации и отбора. Мы можем отслеживать родовые линии

частиц . Случайные состояния , с нижними индексами l = 0, ..., k, обозначает предка особи на уровне l = 0, ..., k. В этой ситуации имеем аппроксимационную формулу

 

 

 

 

(Уравнение 3)

с эмпирическая мера

Здесь F обозначает любую найденную функцию на пути прохождения сигнала. В более синтетической форме (Уравнение 3) эквивалентно

Фильтры частиц можно интерпретировать по-разному. С вероятностной точки зрения они совпадают с частица среднего поля интерпретация уравнения нелинейной фильтрации. Переходы обновления-прогнозирования эволюции оптимального фильтра также можно интерпретировать как переходы классических генетических типов отборов-мутаций индивидуумов. Метод последовательной повторной выборки по важности обеспечивает другую интерпретацию переходов фильтрации, связывающих выборку по важности с этапом начальной повторной выборки. Наконец, что не менее важно, фильтры для частиц можно рассматривать как методологию приемки-отказа, снабженную механизмом рециркуляции.[9][4]

Моделирование среднего поля частиц

Общий вероятностный принцип

Эволюцию нелинейной фильтрации можно интерпретировать как динамическую систему в множестве вероятностных мер следующего вида: куда обозначает некоторое отображение из множества распределений вероятностей в себя. Например, эволюция одношагового оптимального предсказателя

удовлетворяет нелинейной эволюции, начиная с распределения вероятностей . Один из самых простых способов аппроксимировать эти вероятностные меры - начать с N независимые случайные величины с общим распределением вероятностей . Предположим, мы определили последовательность N случайные переменные такой, что

На следующем этапе мы пробуем N (условно) независимые случайные величины с общим правом.

Частичная интерпретация уравнения фильтрации

Мы проиллюстрируем этот принцип частиц среднего поля в контексте эволюции одношаговых оптимальных предикторов.

 

 

 

 

(Уравнение 4)

За k = 0 мы используем соглашение .

По закону больших чисел имеем

в том смысле, что

для любой ограниченной функции . Далее предполагаем, что построили последовательность частиц в каком-то звании k такой, что

в том смысле, что для любой ограниченной функции у нас есть

В этой ситуации замена посредством эмпирическая мера в уравнении эволюции одношагового оптимального фильтра из (Уравнение 4) мы находим, что

Обратите внимание, что правая часть в приведенной выше формуле представляет собой взвешенную вероятностную смесь.

куда обозначает плотность оценивается в , и обозначает плотность оценивается в за

Затем мы пробуем N независимая случайная величина с общей плотностью вероятности так что

Повторяя эту процедуру, мы построим цепь Маркова так, что

Обратите внимание, что оптимальный фильтр аппроксимируется на каждом временном шаге k с использованием формул Байеса

Термин «приближение среднего поля» происходит от того факта, что мы заменяем на каждом временном шаге вероятностную меру эмпирическим приближением . Аппроксимация задачи фильтрации с помощью частиц среднего поля далеко не единственная. В книгах разработано несколько стратегий.[9][4]

Некоторые результаты сходимости

Анализ сходимости сажевых фильтров был начат в 1996 году.[1][3] а в 2000 г. в книге[7] и цикл статей.[45][46][47][48][49][60][61] Более свежие разработки можно найти в книгах,[9][4] Когда уравнение фильтрации стабильно (в том смысле, что оно исправляет любое ошибочное начальное условие), смещение и дисперсия оценок частицы

контролируются неасимптотическими равномерными оценками

для любой функции ж ограничено единицей, а для некоторых конечных констант Кроме того, для любого :

для некоторых конечных констант связанных с асимптотическим смещением и дисперсией оценки частицы, и некоторой конечной постоянной c. Те же результаты будут удовлетворены, если мы заменим одношаговый оптимальный предиктор приближением оптимального фильтра.

Генеалогические деревья и свойства непредвзятости

Сглаживание частиц на основе генеалогического дерева

Прослеживая во времени родовые линии

лиц и на каждом временном шаге k, мы также имеем приближения частиц

Эти эмпирические приближения эквивалентны приближениям интегральных частиц

для любой ограниченной функции F на случайных траекториях сигнала. Как показано в[51] эволюция генеалогического древа совпадает с интерпретацией уравнений эволюции, связанных с апостериорными плотностями сигнальных траекторий, с помощью частиц среднего поля. Для получения дополнительных сведений об этих моделях пространства путей мы отсылаем к книгам.[9][4]

Несмещенные частичные оценки функций правдоподобия

Используем формулу продукта

с

и конвенции и за k = 0. Замена посредством эмпирический приближение

В приведенной выше формуле мы проектируем следующее беспристрастное приближение частицы функции правдоподобия

с

куда обозначает плотность оценивается в . В статье в 1996 г. была доказана конструкция этой оценки частицы и свойство несмещенности.[1] Уточненные оценки дисперсии можно найти в[4] и.[9]

Сглаживает обратные частицы

Используя правило Байеса, мы имеем формулу

Заметь

Отсюда следует, что

Замена одношаговых оптимальных предикторов частицей эмпирические меры

мы находим, что

Мы делаем вывод, что

с приближением обратной частицы

Вероятностная мера

- вероятность случайных путей цепи Маркова бегущий назад во времени от времени k = n до времени k = 0 и эволюционирующий на каждом временном шаге k в пространстве состояний, связанном с популяцией частиц

  • Первоначально (в момент времени k = n) цепочка случайным образом выбирает состояние с распределением
  • От момента k до момента времени (k-1) цепочка, начиная с некоторого состояния для некоторых в момент времени k переходит в момент времени (k-1) в случайное состояние выбирается с дискретной взвешенной вероятностью

В приведенной выше формуле обозначает условное распределение оценивается в . В том же духе, и обозначают условные плотности и оценивается в и Эти модели позволяют уменьшить интеграцию по плотностям в терминах матричных операций относительно марковских переходов описанной выше цепи.[52] Например, для любой функции у нас есть оценки частиц

куда

Это также показывает, что если

тогда

Некоторые результаты сходимости

Мы будем предполагать, что уравнение фильтрации является устойчивым в том смысле, что оно исправляет любое ошибочное начальное условие.

В этой ситуации частицы приближения функций правдоподобия беспристрастны, а относительная дисперсия контролируется

для некоторой конечной постоянной c. Кроме того, для любого :

для некоторых конечных констант связанных с асимптотическим смещением и дисперсией оценки частицы, и для некоторой конечной постоянной c.

Предвзятость и дисперсия оценки частиц на основе родовых линий генеалогических деревьев

контролируются неасимптотическими равномерными оценками

для любой функции F ограничено единицей, а для некоторых конечных констант Кроме того, для любого :

для некоторых конечных констант связанных с асимптотическим смещением и дисперсией оценки частицы, и для некоторой конечной постоянной c. Тот же тип оценок смещения и дисперсии справедлив и для сглаживающих устройств с обратными частицами. Для аддитивных функционалов вида

с

с функциями ограниченный 1, имеем

и

для некоторых конечных констант Более точные оценки, включающие экспоненциально малую вероятность ошибок, разработаны в.[9]

Последовательная передискретизация по важности (SIR)

Фильтр Монте-Карло и бутстрап-фильтр

Последовательная важность Повторная выборка (СЭР), Фильтрация Монте-Карло (Китагава 1993[32]) и алгоритм бутстрапной фильтрации (Гордон и др., 1993[34]), также обычно применяются алгоритмы фильтрации, которые аппроксимируют плотность вероятности фильтрации взвешенным набором N образцы

В веса важности являются приближениями относительных апостериорных вероятностей (или плотностей) выборок, таких что

Последовательная выборка важности (SIS) - это последовательная (то есть рекурсивная) версия выборка по важности. Как и в случае выборки важности, ожидание функции ж можно аппроксимировать как средневзвешенное

Для конечного набора выборок производительность алгоритма зависит от выбора распространение предложения

.

"оптимальное "распределение предложений" дается как целевое распределение

Этот конкретный вариант перехода предложения был предложен П. Дель Моралем в 1996 и 1998 годах.[3] Когда сложно отследить переходы по распределению одна естественная стратегия - использовать следующее приближение частиц

с эмпирическим приближением

связана с N (или любое другое большое количество выборок) независимые случайные выборки с условным распределением случайного состояния данный . Согласованность результирующего фильтра частиц этого приближения и других расширений разработана в.[3] На приведенном выше дисплее стоит за Мера Дирака в данном состоянии a.

Тем не менее, распределение априорной вероятности перехода часто используется как функция важности, поскольку легче рисовать частицы (или образцы) и выполнять последующие вычисления весовых коэффициентов важности:

Последовательная передискретизация по важности (SIR) фильтры с переходным априорным распределением вероятностей в качестве функции важности широко известны как бутстрап-фильтр и алгоритм уплотнения.

Повторная выборка используется, чтобы избежать проблемы вырожденности алгоритма, то есть избежать ситуации, когда все веса важности, кроме одного, близки к нулю. На производительность алгоритма также может повлиять правильный выбор метода передискретизации. В стратифицированная выборка предложено Китагавой (1993[32]) оптимальна по дисперсии.

Один шаг последовательной повторной выборки важности выглядит следующим образом:

1) Для взять образцы из распространение предложения
2) Для обновить веса важности до нормализующей константы:
Обратите внимание, что когда мы используем распределение априорной вероятности перехода в качестве функции важности,
это упрощается до следующего:
3) Для вычислить нормализованные веса важности:
4) Вычислите оценку эффективного числа частиц как
Этот критерий отражает дисперсию весов, другие критерии можно найти в статье,[5] включая их строгий анализ и центральные предельные теоремы.
5) Если эффективное количество частиц меньше заданного порога , затем выполните повторную выборку:
ничья N частицы из текущего набора частиц с вероятностями, пропорциональными их весу. Замените текущий набор частиц новым.
б) Для набор

Период, термин Передискретизация важности выборки также иногда используется при обращении к фильтрам SIR.

Последовательная выборка по важности (SIS)

  • То же, что и последовательная повторная выборка по важности, но без этапа повторной выборки.

алгоритм "прямой версии"

Алгоритм "прямой версии"[нужна цитата ] довольно прост (по сравнению с другими алгоритмами фильтрации частиц) и использует композицию и отбраковку. Чтобы создать единый образец Икс в k из :

1) Установите n = 0 (будет подсчитано количество сгенерированных частиц)
2) Равномерно выберите индекс i из диапазона
3) Создайте тест из раздачи с
4) Сгенерируйте вероятность с помощью из куда это измеренное значение
5) Создайте еще один униформа Ты из куда
6) Сравните u и
6a) Если u больше, повторите с шага 2
6b) Если u меньше, сохраните в качестве и увеличиваем n
7) Если n == N, то выйти

Цель состоит в том, чтобы произвести P "частиц" на k используя только частицы из . Это требует, чтобы уравнение Маркова могло быть написано (и вычислено) для генерации основанный только на . Этот алгоритм использует состав P-частиц из генерировать частицу на k и повторяется (шаги 2–6) до тех пор, пока частицы P не образуются при k.

Это легче визуализировать, если Икс рассматривается как двумерный массив. Одно измерение k а другие измерения - это количество частиц. Например, был бы яth частица на а также может быть написано (как это сделано в алгоритме выше). Шаг 3 генерирует потенциал на основе случайно выбранной частицы () вовремя и отклоняет или принимает его на шаге 6. Другими словами, значения генерируются с использованием ранее сгенерированных .

Другие фильтры твердых частиц

Смотрите также

Рекомендации

  1. ^ а б c d е ж грамм час я j Дель Мораль, Пьер (1996). «Нелинейная фильтрация: раствор взаимодействующих частиц» (PDF). Марковские процессы и родственные поля. 2 (4): 555–580.
  2. ^ Лю, Цзюнь С .; Чен, Ронг (1998-09-01). «Последовательные методы Монте-Карло для динамических систем». Журнал Американской статистической ассоциации. 93 (443): 1032–1044. Дои:10.1080/01621459.1998.10473765. ISSN  0162-1459.
  3. ^ а б c d е ж грамм Дель Мораль, Пьер (1998). "Измерение значений процессов и взаимодействующих систем частиц. Применение к задачам нелинейной фильтрации". Анналы прикладной вероятности (Publications du Laboratoire de Statistique et Probabilités, 96-15 (1996) изд.). 8 (2): 438–495. Дои:10.1214 / aoap / 1028903535.
  4. ^ а б c d е ж грамм час я j k л Дель Мораль, Пьер (2004). Формулы Фейнмана-Каца. Генеалогические и взаимодействующие приближения частиц. https://www.springer.com/gp/book/9780387202686: Springer. Серия: Вероятность и приложения. п. 556. ISBN  978-0-387-20268-6.CS1 maint: location (связь)
  5. ^ а б c Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Ясра, Аджай (2012). «Об адаптивных процедурах повторной выборки для последовательных методов Монте-Карло» (PDF). Бернулли. 18 (1): 252–278. Дои:10.3150 / 10-bej335. S2CID  4506682.
  6. ^ а б c Дель Мораль, Пьер (2004). Формулы Фейнмана-Каца. Генеалогические и взаимодействующие приближения частиц. Вероятность и ее приложения. Springer. п. 575. ISBN  9780387202686. Серия: Вероятность и приложения
  7. ^ а б c d е ж грамм час Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). "Аппроксимация систем ветвящихся и взаимодействующих частиц формул Фейнмана-Каца с приложениями к нелинейной фильтрации". В Жаке Аземе; Мишель Леду; Мишель Эмери; Марк Йор (ред.). Séminaire de Probabilités XXXIV (PDF). Конспект лекций по математике. 1729. С. 1–145. Дои:10.1007 / bfb0103798. ISBN  978-3-540-67314-9.
  8. ^ а б Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2000). "Аппроксимация системы частиц Морана формул Фейнмана-Каца". Стохастические процессы и их приложения. 86 (2): 193–216. Дои:10.1016 / S0304-4149 (99) 00094-0.
  9. ^ а б c d е ж грамм час я j k Дель Мораль, Пьер (2013). Моделирование среднего поля для интеграции Монте-Карло. Чепмен и Холл / CRC Press. п. 626. Монографии по статистике и прикладной теории вероятностей
  10. ^ Мораль, Пьер Дель; Дусе, Арно (2014). "Методы частиц: введение в приложения". ESAIM: Proc. 44: 1–46. Дои:10.1051 / proc / 201444001.
  11. ^ а б Rosenbluth, Marshall, N .; Розенблут, Арианна, В. (1955). «Расчеты Монте-Карло средней протяженности макромолекулярных цепей». J. Chem. Phys. 23 (2): 356–359. Bibcode:1955ЖЧФ..23..356Р. Дои:10.1063/1.1741967. S2CID  89611599.
  12. ^ а б c Хетерингтон, Джек, Х. (1984). «Наблюдения за статистической итерацией матриц». Phys. Ред. А. 30 (2713): 2713–2719. Bibcode:1984PhRvA..30.2713H. Дои:10.1103 / PhysRevA.30.2713.
  13. ^ а б Дель Мораль, Пьер (2003). «Частичные приближения показателей Ляпунова, связанных с операторами Шредингера и полугруппами Фейнмана-Каца». Вероятность и статистика ESAIM. 7: 171–208. Дои:10.1051 / пс: 2003001.
  14. ^ Ассараф, Роланд; Каффарель, Мишель; Хелиф, Анатоль (2000). «Диффузионные методы Монте-Карло с фиксированным числом пешеходов» (PDF). Phys. Ред. E. 61 (4): 4566–4575. Bibcode:2000PhRvE..61.4566A. Дои:10.1103 / Physreve.61.4566. PMID  11088257. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-11-07.
  15. ^ Каффарель, Мишель; Сеперли, Дэвид; Калос, Малвин (1993). "Комментарий к расчету Фейнмана-Каца методом интеграла по траекториям энергий основного состояния атомов". Phys. Rev. Lett. 71 (13): 2159. Bibcode:1993ПхРвЛ..71.2159С. Дои:10.1103 / Physrevlett.71.2159. PMID  10054598.
  16. ^ Оконе, Д. Л. (1 января 1999 г.). «Асимптотическая устойчивость фильтров Beneš». Стохастический анализ и приложения. 17 (6): 1053–1074. Дои:10.1080/07362999908809648. ISSN  0736-2994.
  17. ^ Морел, Мирей Шалеят; Мишель, Доминик (1 января 1984 г.). «Результат несуществования фильтра конечной размерности». Стохастик. 13 (1–2): 83–102. Дои:10.1080/17442508408833312. ISSN  0090-9491.
  18. ^ а б Хаджирамезанали, Эхсан; Имани, Махди; Брага-Нето, Улисс; Цянь, Сяонин; Догерти, Эдвард Р. (2019). «Масштабируемая оптимальная байесовская классификация траекторий отдельных ячеек в условиях неопределенности регуляторной модели». BMC Genomics. 20 (Дополнение 6): 435. arXiv:1902.03188. Bibcode:2019arXiv190203188H. Дои:10.1186 / s12864-019-5720-3. ЧВК  6561847. PMID  31189480.
  19. ^ Тьюринг, Алан М. (октябрь 1950 г.). «Вычислительная техника и интеллект». Разум. LIX (238): 433–460. Дои:10.1093 / разум / LIX.236.433.
  20. ^ Барричелли, Нильс Алл (1954). "Esempi numerici di processi di evoluzione". Методосы: 45–68.
  21. ^ Барричелли, Нильс Алл (1957). «Симбиогенетические процессы эволюции, реализуемые искусственными методами». Методосы: 143–182.
  22. ^ Hammersley, J.M .; Мортон, К. У. (1954). "Монте-Карло бедняков". Журнал Королевского статистического общества. Серия B (Методологическая). 16 (1): 23–38. Дои:10.1111 / j.2517-6161.1954.tb00145.x. JSTOR  2984008.
  23. ^ Барричелли, Нильс Алл (1963). «Численное тестирование эволюционных теорий. Часть II. Предварительные тесты производительности, симбиогенеза и земной жизни». Acta Biotheoretica. 16 (3–4): 99–126. Дои:10.1007 / BF01556602. S2CID  86717105.
  24. ^ "Адаптация в естественных и искусственных системах | MIT Press". mitpress.mit.edu. Получено 2015-06-06.
  25. ^ Фрейзер, Алекс (1957). «Моделирование генетических систем с помощью автоматических цифровых компьютеров. I. Введение». Aust. J. Biol. Наука. 10 (4): 484–491. Дои:10.1071 / BI9570484.
  26. ^ Фрейзер, Алекс; Бернелл, Дональд (1970). Компьютерные модели в генетике. Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. ISBN  978-0-07-021904-5.
  27. ^ Кросби, Джек Л. (1973). Компьютерное моделирование в генетике. Лондон: Джон Вили и сыновья. ISBN  978-0-471-18880-3.
  28. ^ Ассараф, Роланд; Каффарель, Мишель; Хелиф, Анатоль (2000). «Диффузионные методы Монте-Карло с фиксированным числом пешеходов» (PDF). Phys. Ред. E. 61 (4): 4566–4575. Bibcode:2000PhRvE..61.4566A. Дои:10.1103 / Physreve.61.4566. PMID  11088257. Архивировано из оригинал (PDF) на 2014-11-07.
  29. ^ Каффарель, Мишель; Сеперли, Дэвид; Калос, Малвин (1993). "Комментарий к расчету Фейнмана-Каца методом интеграла по траекториям энергий основного состояния атомов". Phys. Rev. Lett. 71 (13): 2159. Bibcode:1993ПхРвЛ..71.2159С. Дои:10.1103 / Physrevlett.71.2159. PMID  10054598.
  30. ^ Ферми, Энрике; Рихтмайер, Роберт, Д. (1948). «Примечание о проведении переписи в расчетах Монте-Карло» (PDF). LAM. 805 (А). Рассекреченный отчет Los Alamos Archive
  31. ^ Герман, Кан; Харрис, Теодор, Э. (1951). «Оценка пропускания частиц методом случайной выборки» (PDF). Natl. Бур. Стоять. Appl. Математика. Сер. 12: 27–30.
  32. ^ а б c Китагава, Г. (январь 1993 г.). «Метод фильтрации и сглаживания Монте-Карло для негауссовских моделей нелинейного пространства состояний» (PDF). Труды 2-го совместного семинара США и Японии по статистическому анализу временных рядов: 110–131.
  33. ^ Китагава, Г. (1996). «Фильтр Монте-Карло и сглаживание для негауссовских нелинейных моделей пространства состояний». Журнал вычислительной и графической статистики. 5 (1): 1–25. Дои:10.2307/1390750. JSTOR  1390750.
  34. ^ а б Гордон, штат Нью-Джерси; Salmond, D.J .; Смит, А.Ф.М. (Апрель 1993 г.). «Новый подход к нелинейному / негауссовскому байесовскому оцениванию состояния». IEE Proceedings F - Radar and Signal Processing. 140 (2): 107–113. Дои:10.1049 / ip-f-2.1993.0015. ISSN  0956-375X.
  35. ^ Карвалью, Гимилькон; Дель Мораль, Пьер; Монен, Андре; Салют, Жерар (июль 1997 г.). «Оптимальная нелинейная фильтрация в интеграции GPS / INS» (PDF). IEEE Transactions по аэрокосмическим и электронным системам. 33 (3): 835. Bibcode:1997ITAES..33..835C. Дои:10.1109/7.599254. S2CID  27966240.
  36. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал, Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: единая структура для решений частиц
    LAAS-CNRS, Тулуза, Отчет об исследовании № 91137, контракт DRET-DIGILOG-LAAS / CNRS, апрель (1991 г.).
  37. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал, Г. Салют. Нелинейные и негауссовские фильтры частиц, применяемые для изменения положения инерционной платформы.
    LAAS-CNRS, Тулуза, Отчет об исследовании № 92207, STCAN / DIGILOG-LAAS / CNRS Конвенция STCAN No. A.91.77.013, (94p.) Сентябрь (1991).
  38. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал, Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: разрешение частиц при фильтрации и оценке. Результаты экспериментов.
    Конвенция DRET No. 89.34.553.00.470.75.01, Отчет об исследовании № 2 (54 стр.), Январь (1992).
  39. ^ П. Дель Мораль, Г. Ригал, Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: разрешение частиц при фильтрации и оценке. Теоретические результаты
    Конвенция DRET No. 89.34.553.00.470.75.01, Отчет об исследовании № 3 (123 стр.), Октябрь (1992).
  40. ^ П. Дель Мораль, Ж.-Ч. Нойер, Г. Ригал и Г. Салют. Фильтры частиц в обработке радиолокационных сигналов: обнаружение, оценка и распознавание воздушных целей.
    LAAS-CNRS, Тулуза, Отчет об исследовании № 92495, декабрь (1992).
  41. ^ П. Дель Мораль, Дж. Ригал и Г. Салют. Оценка и нелинейное оптимальное управление: разрешение частиц при фильтрации и оценке.
    Исследования по: фильтрации, оптимальному управлению и оценке максимального правдоподобия. Конвенция DRET No. 89.34.553.00.470.75.01. Отчет об исследовании № 4 (210 стр.), Январь (1993).
  42. ^ а б Крисан, Дэн; Гейнс, Джессика; Лайонс, Терри (1998). «Сходимость метода ветвящихся частиц к решению Закая». Журнал SIAM по прикладной математике. 58 (5): 1568–1590. Дои:10.1137 / s0036139996307371. S2CID  39982562.
  43. ^ Крисан, Дэн; Лайонс, Терри (1997). «Нелинейная фильтрация и мерозначные процессы». Теория вероятностей и смежные области. 109 (2): 217–244. Дои:10.1007 / s004400050131. S2CID  119809371.
  44. ^ Крисан, Дэн; Лайонс, Терри (1999). «Частичное приближение решения уравнения Кушнера – Стратоновича». Теория вероятностей и смежные области. 115 (4): 549–578. Дои:10.1007 / s004400050249. S2CID  117725141.
  45. ^ а б c Крисан, Дэн; Дель Мораль, Пьер; Лайонс, Терри (1999). «Дискретная фильтрация с использованием систем ветвящихся и взаимодействующих частиц» (PDF). Марковские процессы и родственные поля. 5 (3): 293–318.
  46. ^ а б c d Дель Мораль, Пьер; Гионнет, Алиса (1999). «Об устойчивости мерозначных процессов с приложениями к фильтрации». C. R. Acad. Sci. Париж. 39 (1): 429–434.
  47. ^ а б c d Дель Мораль, Пьер; Гионнет, Алиса (2001). «Об устойчивости взаимодействующих процессов с приложениями к фильтрации и генетическим алгоритмам». Annales de l'Institut Анри Пуанкаре. 37 (2): 155–194. Bibcode:2001АниХП..37..155Д. Дои:10.1016 / s0246-0203 (00) 01064-5.
  48. ^ а б Del Moral, P .; Guionnet, A. (1999). «Центральная предельная теорема для нелинейной фильтрации и систем взаимодействующих частиц». Анналы прикладной теории вероятностей. 9 (2): 275–297. Дои:10.1214 / aoap / 1029962742. ISSN  1050-5164.
  49. ^ а б Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2001). «Генеалогия и растущее распространение хаоса для моделей Фейнмана-Каца и генетических моделей». Анналы прикладной теории вероятностей. 11 (4): 1166–1198. Дои:10.1214 / aoap / 1015345399. ISSN  1050-5164.
  50. ^ а б Doucet, A .; De Freitas, N .; Мерфи, К .; Рассел, С. (2000). Фильтрация частиц Рао – Блэквеллиза для динамических байесовских сетей. Труды Шестнадцатой конференции по неопределенности в искусственном интеллекте. С. 176–183. CiteSeerX  10.1.1.137.5199.
  51. ^ а б Дель Мораль, Пьер; Микло, Лоран (2001). «Генеалогия и усиление распространения хаоса для моделей Фейнмана-Каца и генетических моделей». Анналы прикладной вероятности. 11 (4): 1166–1198.
  52. ^ а б Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Сингх, Сумитпал, С. (2010). "Обратное толкование формул Фейнмана-Каца частицами" (PDF). M2AN. 44 (5): 947–976. Дои:10,1051 / м2ан / 2010048. S2CID  14758161.
  53. ^ Верже, Кристель; Дубарри, Сирил; Дель Мораль, Пьер; Мулин, Эрик (2013). «О параллельной реализации последовательных методов Монте-Карло: модель островных частиц». Статистика и вычисления. 25 (2): 243–260. arXiv:1306.3911. Bibcode:2013arXiv1306.3911V. Дои:10.1007 / s11222-013-9429-х. S2CID  39379264.
  54. ^ Шопен, Николя; Jacob, Pierre, E .; Папаспилиопулос, Омирос (2011). «SMC ^ 2: эффективный алгоритм последовательного анализа моделей в пространстве состояний». arXiv:1101.1528v3 [stat.CO ].
  55. ^ Андрие, Кристоф; Дусе, Арно; Холенштейн, Роман (2010). "Методы Монте-Карло цепей Маркова частиц". Журнал Королевского статистического общества, серия B. 72 (3): 269–342. Дои:10.1111 / j.1467-9868.2009.00736.x.
  56. ^ Дель Мораль, Пьер; Патры, Фредерик; Кон, Роберт (2014). "О моделях Фейнмана-Каца и монте-Карло цепей Маркова частиц". arXiv:1404.5733 [math.PR ].
  57. ^ Дель Мораль, Пьер; Жакод, Жан; Проттер, Филипп (2001-07-01). «Метод Монте-Карло для фильтрации с наблюдениями с дискретным временем». Теория вероятностей и смежные области. 120 (3): 346–368. Дои:10.1007 / PL00008786. HDL:1813/9179. ISSN  0178-8051. S2CID  116274.
  58. ^ Дель Мораль, Пьер; Дусе, Арно; Ясра, Аджай (2011). «Адаптивный последовательный метод Монте-Карло для приближенного байесовского вычисления». Статистика и вычисления. 22 (5): 1009–1020. CiteSeerX  10.1.1.218.9800. Дои:10.1007 / s11222-011-9271-y. ISSN  0960-3174. S2CID  4514922.
  59. ^ Мартин, Джеймс С .; Ясра, Аджай; Singh, Sumeetpal S .; Уайтли, Ник; Дель Мораль, Пьер; Маккой, Эмма (4 мая 2014 г.). «Приближенное байесовское вычисление для сглаживания». Стохастический анализ и приложения. 32 (3): 397–420. arXiv:1206.5208. Дои:10.1080/07362994.2013.879262. ISSN  0736-2994. S2CID  17117364.
  60. ^ Дель Мораль, Пьер; Рио, Эммануэль (2011). «Неравенства концентрации для моделей частиц среднего поля». Анналы прикладной теории вероятностей. 21 (3): 1017–1052. arXiv:1211.1837. Дои:10.1214 / 10-AAP716. ISSN  1050-5164. S2CID  17693884.
  61. ^ Дель Мораль, Пьер; Ху, Пэн; Ву, Лиминг (2012). О концентрационных свойствах процессов взаимодействующих частиц.. Ганновер, Массачусетс, США: Теперь Publishers Inc. ISBN  978-1601985125.
  62. ^ Zand, G .; Тахерхани, М .; Сафабахш Р. (2015). «Экспоненциальный фильтр природных частиц». arXiv:1511.06603 [cs.LG ].
  63. ^ Pitt, M.K .; Шепард, Н. (1999). «Фильтрация с помощью моделирования: дополнительные фильтры частиц». Журнал Американской статистической ассоциации. 94 (446): 590–591. Дои:10.2307/2670179. JSTOR  2670179. Получено 2008-05-06.
  64. ^ Liu, J .; Wang, W .; Ма, Ф. (2011). «Регламентированный подход дополнительной фильтрации частиц для оценки состояния системы и прогнозирования срока службы батареи». Умные материалы и конструкции. 20 (7): 1–9. Bibcode:2011SMaS ... 20г5021Л. Дои:10.1088/0964-1726/20/7/075021.
  65. ^ Canton-Ferrer, C .; Casas, J.R .; Пардас М. (2011). «Захват движения человека с использованием масштабируемых моделей тела». Компьютерное зрение и понимание изображений. 115 (10): 1363–1374. Дои:10.1016 / j.cviu.2011.06.001. HDL:2117/13393.
  66. ^ Blanco, J.L .; Gonzalez, J .; Фернандес-Мадригал, Я. (2008). Оптимальный алгоритм фильтрации для непараметрических моделей наблюдений при локализации роботов. Международная конференция IEEE по робототехнике и автоматизации (ICRA'08). С. 461–466. CiteSeerX  10.1.1.190.7092.
  67. ^ Blanco, J.L .; Gonzalez, J .; Фернандес-Мадригал, Я. (2010). «Оптимальная фильтрация для непараметрических моделей наблюдений: приложения к локализации и SLAM». Международный журнал исследований робототехники (IJRR). 29 (14): 1726–1742. CiteSeerX  10.1.1.1031.4931. Дои:10.1177/0278364910364165. S2CID  453697.
  68. ^ Акылдыз, Омер Дениз; Мигес, Хоакин (01.03.2020). «Сдвиг сажевого фильтра». Статистика и вычисления. 30 (2): 305–330. Дои:10.1007 / s11222-019-09884-у. ISSN  1573-1375. S2CID  88515918.

Библиография

внешняя ссылка