Компартментные модели в эпидемиологии - Compartmental models in epidemiology

В 1927 году У. О. Кермак и А. Г. Маккендрик создали модель, в которой они рассматривали фиксированную популяцию только с тремя отделениями: восприимчивой и ${ Displaystyle S (т)}$; зараженный, ${ Displaystyle I (т)}$; и выздоровел, ${ Displaystyle R (т)}$. В данной модели используются отсеки трех классов:^[1]

• ${ Displaystyle S (т)}$ используется для представления людей, еще не инфицированных заболеванием в момент времени t, или людей, восприимчивых к заболеванию в популяции.
• ${ Displaystyle I (т)}$ обозначает людей из населения, которые были инфицированы этим заболеванием и способны распространить болезнь среди лиц, относящихся к уязвимой категории.
• ${ Displaystyle R (т)}$ это отделение, используемое для людей из популяции, которые были инфицированы, а затем удалены от болезни в результате иммунизации или в связи со смертью. Люди из этой категории не могут снова заразиться или передать инфекцию другим.

Ход этой модели можно рассматривать следующим образом:

${ displaystyle { color {blue} {{ mathcal {S}} rightarrow { mathcal {I}} rightarrow { mathcal {R}}}}}$

Используя фиксированное население, ${ Displaystyle N = S (t) + I (t) + R (t)}$ в трех функциях решает, что значение ${ displaystyle N}$ должен оставаться постоянным в рамках моделирования, если моделирование используется для решения модели SIR. В качестве альтернативы аналитический аппроксимант^[4] можно использовать без моделирования. Модель запускается со значениями ${ Displaystyle S (т = 0)}$, ${ Displaystyle I (т = 0)}$ и ${ Displaystyle R (т = 0)}$. Это количество людей в уязвимых, зараженных и удаленных категориях в момент времени, равное нулю. Если предполагается, что модель SIR выполняется все время, эти начальные условия не являются независимыми.^[4] Впоследствии потоковая модель обновляет три переменные для каждой временной точки с заданными значениями для ${ displaystyle beta}$ и ${ displaystyle gamma}$. Моделирование сначала обновляет инфицированных от уязвимых, а затем удаленная категория обновляется из зараженной категории для следующего момента времени (t = 1). Это описывает поток людей между тремя категориями. Во время эпидемии эта модель не меняет категорию восприимчивых, ${ displaystyle beta}$ меняется с течением эпидемии, как и ${ displaystyle gamma}$. Эти переменные определяют продолжительность эпидемии и должны обновляться с каждым циклом.

${ displaystyle { frac {dS} {dt}} = - { frac { beta SI} {N}}}$

${ displaystyle { frac {dI} {dt}} = { frac { beta SI} {N}} - gamma I}$

${ displaystyle { frac {dR} {dt}} = gamma I}$

При формулировании этих уравнений было сделано несколько предположений: во-первых, человек в популяции должен рассматриваться как имеющий такую ​​же вероятность, как и любой другой человек, заразиться этим заболеванием со скоростью ${ displaystyle a}$ и равная доля ${ displaystyle b}$ людей, с которыми человек контактирует в единицу времени. Тогда пусть ${ displaystyle beta}$ быть умножением ${ displaystyle a}$ и ${ displaystyle b}$. Это вероятность передачи, умноженная на частоту контакта. Кроме того, инфицированный человек вступает в контакт с ${ displaystyle b}$ человек в единицу времени, тогда как только часть, ${ displaystyle { frac {S} {N}}}$ из них восприимчивы. Таким образом, у нас каждый инфекционный может заразить ${ displaystyle abS = beta S}$ восприимчивых людей, и, следовательно, общее количество восприимчивых, инфицированных инфекционными болезнями, в единицу времени равно ${ displaystyle beta SI}$. Применительно ко второму и третьему уравнениям считайте, что популяция, покидающая уязвимый класс, равна числу, попавшему в инфицированный класс. Однако число, равное дроби ${ displaystyle gamma}$ (что представляет собой средний показатель выздоровления / смертности, или ${ displaystyle 1 / gamma}$ средний период заражения) инфекционные болезни покидают этот класс в единицу времени, чтобы войти в удаленный класс. Эти процессы, которые происходят одновременно, называются Законом массового действия, широко распространенной идеей о том, что скорость контакта между двумя группами в популяции пропорциональна размеру каждой из заинтересованных групп. Наконец, предполагается, что скорость инфицирования и выздоровления намного выше, чем временной масштаб рождений и смертей, и поэтому в этой модели эти факторы не учитываются.^[14]

Устойчивые решения

Ожидаемая продолжительность восприимчивости будет ${ displaystyle operatorname {E} [ min (T_ {L} mid T_ {S})]}$ куда ${ displaystyle T_ {L}}$ отражает время жизни (продолжительность жизни) и ${ displaystyle T_ {S}}$ отражает время нахождения в восприимчивом состоянии до заражения, что можно упростить^[15] к:

${ displaystyle operatorname {E} [ min (T_ {L} mid T_ {S})] = int _ {0} ^ { infty} e ^ {- ( mu + delta) x} , dx = { frac {1} { mu + delta}},}$

таким образом, чтобы число восприимчивых людей было числом, попавшим в чувствительный отсек ${ Displaystyle mu N}$ кратная продолжительность восприимчивости:

${ displaystyle S = { frac { mu N} { mu + lambda}}.}$

Аналогично, постоянное количество инфицированных людей - это количество, перешедшее в инфицированное состояние из восприимчивого состояния (число восприимчивых, умноженное на скорость инфицирования ${ displaystyle lambda = { tfrac { beta I} {N}},}$ раз превышает продолжительность заразности ${ displaystyle { tfrac {1} { mu + v}}}$:

${ displaystyle I = { frac { mu N} { mu + lambda}} lambda { frac {1} { mu + v}}.}$

Прочие модели-купе

Существует множество модификаций модели SIR, в том числе те, которые включают рождение и смерть, где после выздоровления нет иммунитета (модель SIS), где иммунитет длится только в течение короткого периода времени (SIRS), где есть латентный период болезнь, при которой человек не заразен (SEIS и SEIR ), и где младенцы могут родиться с иммунитетом (MSIR).

Варианты базовой модели SIR

Модель SIS

Желтый = восприимчивый, бордовый = инфицированный

Некоторые инфекции, например, из простуда и грипп, не дают длительного иммунитета. Такие инфекции не дают иммунитета после выздоровления от инфекции, и люди снова становятся восприимчивыми.

У нас есть модель:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dS} {dt}} & = - { frac { beta SI} {N}} + gamma I [6pt] { frac {dI} { dt}} & = { frac { beta SI} {N}} - gamma I end {align}}}$

Обратите внимание, что, обозначая N всего населения он считает, что:

${ displaystyle { frac {dS} {dt}} + { frac {dI} {dt}} = 0 Rightarrow S (t) + I (t) = N}$.

Следует, что:

${ displaystyle { frac {dI} {dt}} = ( beta - gamma) I - { frac { beta} {N}} I ^ {2}}$,

т.е. динамикой инфекционных управляет логистическая функция, так что ${ displaystyle forall I (0)> 0}$:

${ Displaystyle { begin {align} & { frac { beta} { gamma}} leq 1 Rightarrow lim _ {t to + infty} I (t) = 0, [6pt] & { frac { beta} { gamma}}> 1 Rightarrow lim _ {t to + infty} I (t) = left (1 - { frac { gamma} { beta}} right) N. end {align}}}$

Можно найти аналитическое решение этой модели (сделав преобразование переменных: ${ Displaystyle I = у ^ {- 1}}$ и подставив это в уравнения среднего поля),^[16] таким образом, что базовый коэффициент воспроизводства больше единицы. Решение дается как

${ displaystyle I (t) = { frac {I _ { infty}} {1 + Ve ^ {- chi t}}}}$.

куда ${ Displaystyle I _ { infty} = (1- gamma / beta) N}$ это эндемичная инфекционная популяция, ${ Displaystyle чи = бета - гамма}$, и ${ displaystyle V = I _ { infty} / I_ {0} -1}$. Поскольку предполагается, что система закрыта, тогда уязвимая популяция ${ Displaystyle S (t) = N-I (t)}$.

Как частный случай, обычную логистическую функцию получают, предполагая ${ displaystyle gamma = 0}$. Это также можно учесть в модели SIR с ${ displaystyle R = 0}$, т.е. удаление не произойдет. Это SI модель.^[17] Система дифференциальных уравнений с использованием ${ displaystyle S = N-I}$ таким образом сводится к:

${ displaystyle { frac {dI} {dt}} propto I cdot (N-I).}$

В долгосрочной перспективе в модели SI все люди будут инфицированы. Для оценки эпидемического порога в модели SIS в сетях см. Parshani et al.^[18]

Модель SIRD

Схема модели SIRD с начальными значениями ${ Displaystyle S (0) = 997, I (0) = 3, R (0) = 0}$ и уровень заражения ${ displaystyle beta = 0,4}$, восстановление ${ displaystyle gamma = 0,035}$ и смертность ${ displaystyle mu = 0,005}$

Анимация модели SIRD с начальными значениями ${ textstyle S (0) = 997, I (0) = 3, R (0) = 0}$, и скорость восстановления ${ textstyle gamma = 0,035}$ и смертность ${ textstyle mu = 0,005}$. Анимация показывает эффект снижения скорости заражения от ${ textstyle beta = 0,5}$ к ${ textstyle beta = 0,12}$. Если нет доступных лекарств или вакцинации, снизить уровень инфицирования (часто называемое «сглаживанием кривой») можно только с помощью таких мер, как «социальное дистанцирование».

В Модель восприимчивого инфицированного выздоровевшего умершего различает Восстановлен (имеется в виду, в частности, люди, пережившие болезнь и получившие иммунитет) и Покойный.^{[нужна цитата ]} В этой модели используется следующая система дифференциальных уравнений:

${ displaystyle { begin {align} & { frac {dS} {dt}} = - { frac { beta IS} {N}}, [6pt] и { frac {dI} {dt} } = { frac { beta IS} {N}} - gamma I- mu I, [6pt] & { frac {dR} {dt}} = gamma I, [6pt] & { frac {dD} {dt}} = mu I, end {align}}}$

куда ${ displaystyle beta, gamma, mu}$ - уровни инфицирования, выздоровления и смертности соответственно.^[19]

Модель MSIR

При многих инфекциях, в том числе корь, младенцы не рождаются в чувствительном отделении, но обладают иммунитетом к болезни в течение первых нескольких месяцев жизни благодаря защите от материнских антител (передаваемых через плацента и дополнительно через молозиво ). Это называется пассивный иммунитет. Эту дополнительную деталь можно показать, включив класс M (для материнского иммунитета) в начало модели.

Чтобы обозначить это математически, добавлен дополнительный отсек, M(т). Это приводит к следующим дифференциальным уравнениям:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dM} {dT}} & = Lambda - delta M- mu M [8pt] { frac {dS} {dT}} & = delta M - { frac { beta SI} {N}} - mu S [8pt] { frac {dI} {dT}} & = { frac { beta SI} {N}} - gamma I- mu I [8pt] { frac {dR} {dT}} & = gamma I- mu R end {align}}}$

Состояние перевозчика

Некоторые люди, перенесшие инфекционное заболевание, например туберкулез никогда полностью не выздоравливай и продолжай нести инфекции, при этом сами не страдая заболеванием. Затем они могут вернуться в инфекционный отсек и страдать от симптомов (как при туберкулезе) или они могут продолжать инфицировать других в состоянии своего носительства, не испытывая при этом симптомов. Самый известный пример этого, наверное, Мэри Мэллон, которые заразили 22 человека брюшной тиф. Отсек для переноски обозначен буквой C.

Модель SEIR

Для многих важных инфекций существует значительный инкубационный период, в течение которого люди были инфицированы, но сами еще не заразны. В этот период человек находится в купе. E (для выставленных).

Предполагая, что инкубационный период является случайной величиной с экспоненциальным распределением с параметром ${ displaystyle a}$ (т.е. средний инкубационный период составляет ${ displaystyle a ^ {- 1}}$), а также при наличии жизненной динамики с рождаемостью ${ displaystyle Lambda}$ равняется смертности ${ displaystyle mu}$, у нас есть модель:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dS} {dt}} & = Lambda N- mu S - { frac { beta IS} {N}} [8pt] { frac { dE} {dt}} & = { frac { beta IS} {N}} - ( mu + a) E [8pt] { frac {dI} {dt}} & = aE - ( gamma + mu) I [8pt] { frac {dR} {dt}} & = gamma I- mu R. end {align}}}$

У нас есть ${ Displaystyle S + E + I + R = N,}$ но это постоянно только из-за упрощающего предположения, что уровни рождаемости и смертности равны; в целом ${ displaystyle N}$ это переменная.

Для этой модели базовый номер репродукции:

${ displaystyle R_ {0} = { frac {a} { mu + a}} { frac { beta} { mu + gamma}}.}$

Подобно модели SIR, также и в этом случае мы имеем равновесие без болезней (N, 0,0,0) и эндемического равновесия EE, и можно показать, что независимо от биологически значимых начальных условий

${ Displaystyle влево (S (0), E (0), I (0), R (0) right) in left {(S, E, I, R) in [0, N] ^ {4}: S geq 0, E geq 0, I geq 0, R geq 0, S + E + I + R = N right }}$

он утверждает, что:

${ Displaystyle R_ {0} Leq 1 Rightarrow lim _ {t to + infty} left (S (t), E (t), I (t), R (t) right) = DFE = (N, 0,0,0),}$

${ Displaystyle R_ {0}> 1, я (0)> 0 Rightarrow lim _ {t to + infty} left (S (t), E (t), I (t), R (t) ) right) = EE.}$

В случае периодически меняющейся скорости контакта ${ Displaystyle бета (т)}$ условием глобальной привлекательности DFE является наличие следующей линейной системы с периодическими коэффициентами:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dE_ {1}} {dt}} & = beta (t) I_ {1} - ( gamma + a) E_ {1} [8pt] { frac {dI_ {1}} {dt}} & = aE_ {1} - ( gamma + mu) I_ {1} end {выровнено}}}$

устойчиво (т.е. имеет собственные значения Флоке внутри единичной окружности на комплексной плоскости).

Модель SEIS

Модель SEIS похожа на модель SEIR (см. Выше) за исключением того, что в конце концов иммунитет не приобретается.

${ displaystyle { color {blue} {{ mathcal {S}} to { mathcal {E}} to { mathcal {I}} to { mathcal {S}}}}}$

В этой модели инфекция не оставляет иммунитета, поэтому выздоровевшие люди снова становятся восприимчивыми, возвращаясь в S(т) отсек. Следующие дифференциальные уравнения описывают эту модель:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dS} {dT}} & = Lambda - { frac { beta SI} {N}} - mu S + gamma I [6pt] { frac {dE} {dT}} & = { frac { beta SI} {N}} - ( epsilon + mu) E [6pt] { frac {dI} {dT}} & = varepsilon E - ( gamma + mu) I end {выровнено}}}$

Модель MSEIR

Для случая заболевания с факторами пассивного иммунитета и латентным периодом существует модель MSEIR.

${ displaystyle color {blue} {{ mathcal {M}} to { mathcal {S}} to { mathcal {E}} to { mathcal {I}} to { mathcal {R }}}}$

${ displaystyle { begin {align} { frac {dM} {dT}} & = Lambda - delta M- mu M [6pt] { frac {dS} {dT}} & = delta M - { frac { beta SI} {N}} - mu S [6pt] { frac {dE} {dT}} & = { frac { beta SI} {N}} - ( varepsilon + mu) E [6pt] { frac {dI} {dT}} & = varepsilon E - ( gamma + mu) I [6pt] { frac {dR} {dT}} & = gamma I- mu R end {выровнено}}}$

Модель MSEIRS

Модель MSEIRS похожа на MSEIR, но иммунитет в классе R будет временным, так что люди будут восстанавливать свою восприимчивость, когда временный иммунитет закончится.

${ displaystyle { color {blue} {{ mathcal {M}} to { mathcal {S}} to { mathcal {E}} to { mathcal {I}} to { mathcal { R}} to { mathcal {S}}}}}$

Переменная частота контактов

Как известно, вероятность заболеть не постоянна во времени. По мере развития пандемии реакции на пандемию могут изменить частоту контактов, которая в более простых моделях считается постоянной. Контрмеры, такие как маски, социальное дистанцирование и изоляция, изменят частоту контактов таким образом, чтобы снизить скорость пандемии.

Кроме того, некоторые заболевания носят сезонный характер, например, вирусы простуды, которые более распространены зимой. С детскими болезнями, такими как корь, эпидемический паротит и краснуха, существует сильная корреляция со школьным календарем, так что во время школьных каникул вероятность заболеть такой болезнью резко снижается. Как следствие, для многих классов заболеваний следует учитывать силу инфекции с периодически («сезонной») изменяющейся частотой контактов.

${ displaystyle F = beta (t) { frac {I} {N}}, quad beta (t + T) = beta (t)}$

с периодом T равным одному году.

Таким образом, наша модель становится

${ displaystyle { begin {align} { frac {dS} {dt}} & = mu N- mu S- beta (t) { frac {I} {N}} S [8pt] { frac {dI} {dt}} & = beta (t) { frac {I} {N}} S - ( gamma + mu) I end {выровнено}}}$

(динамика восстановленных легко следует из ${ Displaystyle R = N-S-I}$), т.е. нелинейная система дифференциальных уравнений с периодически меняющимися параметрами. Хорошо известно, что в этом классе динамических систем могут происходить очень интересные и сложные явления нелинейного параметрического резонанса. Легко увидеть, что если:

${ displaystyle { frac {1} {T}} int _ {0} ^ {T} { frac { beta (t)} { mu + gamma}} , dt <1 Rightarrow lim _ {t to + infty} (S (t), I (t)) = DFE = (N, 0),}$

тогда как если интеграл больше единицы, болезнь не исчезнет, ​​и могут быть такие резонансы. Например, рассматривая периодически изменяющуюся частоту контакта как `` вход '' системы, мы получаем, что выход представляет собой периодическую функцию, период которой кратен периоду входа. Это позволило внести вклад в объяснение многолетнего (обычно раз в два года) эпидемические вспышки некоторых инфекционных заболеваний как взаимосвязь между периодом колебаний частоты контакта и псевдопериодом затухающих колебаний вблизи эндемического равновесия. Примечательно, что в некоторых случаях поведение также может быть квазипериодическим или даже хаотическим.

Пандемия

Модель для оценки вероятности глобального распространения и объявления пандемии была недавно разработана Valdez et al. ^[20]

Моделирование вакцинации

Модель SIR может быть изменена для моделирования вакцинации.^[21] Обычно они вводят дополнительный отсек в модель SIR, ${ displaystyle V}$, для вакцинированных лиц. Ниже приведены некоторые примеры.

Вакцинация новорожденных

При наличии инфекционного заболевания одной из основных задач является его искоренение с помощью профилактических мер и, если возможно, путем создания программы массовой вакцинации. Рассмотрим болезнь, от которой новорожденных вакцинируют (вакциной, дающей пожизненный иммунитет) со скоростью ${ Displaystyle P in (0,1)}$:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dS} {dt}} & = nu N (1-P) - mu S- beta { frac {I} {N}} S [ 8pt] { frac {dI} {dt}} & = beta { frac {I} {N}} S - ( mu + gamma) I [8pt] { frac {dV} {dt} } & = nu NP- mu V end {выровнено}}}$

куда ${ displaystyle V}$ - это класс вакцинированных субъектов. Немедленно показать, что:

${ Displaystyle lim _ {т к + infty} V (т) = НП,}$

таким образом, мы будем иметь дело с долгосрочным поведением ${ displaystyle S}$ и ${ displaystyle I}$, для чего:

${ Displaystyle R_ {0} (1-P) Leq 1 Rightarrow lim _ {t to + infty} left (S (t), I (t) right) = DFE = left (N left (1-P right), 0 right)}$

${ Displaystyle R_ {0} (1-P)> 1, quad I (0)> 0 Rightarrow lim _ {t to + infty} left (S (t), I (t) right ) = EE = left ({ frac {N} {R_ {0} (1-P)}}, N left (R_ {0} (1-P) -1 right) right).}$

Другими словами, если

${ displaystyle P$

Программа вакцинации не увенчалась успехом в искоренении болезни, напротив, она останется эндемичной, хотя и на более низком уровне, чем в случае отсутствия вакцинации. Это означает, что математическая модель предполагает, что для болезни, базовый номер репродукции может достигать 18 лет, необходимо вакцинировать не менее 94,4% новорожденных, чтобы искоренить болезнь.

Вакцинация и информация

Современное общество сталкивается с проблемой «рационального» исключения, т. Е. Решения семьи не вакцинировать детей в результате «рационального» сравнения между предполагаемым риском заражения и риском нанесения ущерба от вакцины. Чтобы оценить, действительно ли такое поведение рационально, то есть может ли оно в равной степени привести к искоренению болезни, можно просто предположить, что частота вакцинации является возрастающей функцией количества инфекционных субъектов:

${ Displaystyle P = P (I), quad P '(I)> 0.}$

В таком случае условием искоренения становится:

${ Displaystyle P (0) geq P ^ {*},}$

то есть базовый уровень вакцинации должен быть выше порога «обязательной вакцинации», который в случае исключения не может выполняться. Таким образом, «рациональное» исключение может быть близоруким, поскольку оно основано только на нынешнем низком уровне заболеваемости из-за высокого охвата вакцинацией, а не на учете будущего возобновления инфекции из-за снижения охвата.

Вакцинация не новорожденных

В случае вакцинации не новорожденных со скоростью ρ уравнение для восприимчивого и вакцинированного субъекта должно быть изменено следующим образом:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dS} {dt}} & = mu N (1-P) - mu S- rho S- beta { frac {I} {N}} S [8pt] { frac {dV} {dt}} & = mu NP + rho S- mu V end {align}}}$

приводит к следующему условию искоренения:

${ displaystyle P geq 1- left (1 + { frac { rho} { mu}} right) { frac {1} {R_ {0}}}}$

Стратегия импульсной вакцинации

Эта стратегия позволяет многократно вакцинировать определенную возрастную группу (например, детей раннего возраста или пожилых людей) из уязвимого населения с течением времени. Используя эту стратегию, затем сразу же удаляется блок восприимчивых людей, что позволяет ликвидировать инфекционное заболевание (например, корь) у всего населения. Каждые T единиц времени вакцинируют постоянную долю p восприимчивых субъектов за относительно короткое (относительно динамики болезни) время. Это приводит к следующим импульсным дифференциальным уравнениям для восприимчивых и вакцинированных субъектов:

${ displaystyle { begin {align} { frac {dS} {dt}} & = mu N- mu S- beta { frac {I} {N}} S, quad S (nT ^ { +}) = (1-p) S (nT ^ {-}), && n = 0,1,2, ldots [8pt] { frac {dV} {dt}} & = - mu V, quad V (nT ^ {+}) = V (nT ^ {-}) + pS (nT ^ {-}), && n = 0,1,2, ldots end {выровнено}}}$

Это легко увидеть, установив я = 0 получается, что динамика восприимчивых субъектов определяется:

${ Displaystyle S ^ {*} (t) = 1 - { frac {p} {1- (1-p) E ^ {- mu T}}} E ^ {- mu MOD (t, T) }}$

и что условие искоренения:

${ Displaystyle R_ {0} int _ {0} ^ {T} S ^ {*} (т) , dt <1}$

Влияние возраста: возрастные модели

Возраст оказывает сильное влияние на скорость распространения болезни среди населения, особенно на частоту контактов. Этот показатель суммирует эффективность контактов между восприимчивыми и инфекционными субъектами. С учетом возраста эпидемических классов ${ Displaystyle s (т, а), я (т, а), г (т, а)}$ (чтобы ограничиться схемой «восприимчивые - инфекционные - удаленные»), такая, что:

${ Displaystyle S (t) = int _ {0} ^ {a_ {M}} s (t, a) , da}$

${ Displaystyle I (т) = int _ {0} ^ {a_ {M}} я (т, а) , да}$

${ Displaystyle R (t) = int _ {0} ^ {a_ {M}} r (t, a) , da}$

(куда ${ displaystyle a_ {M} leq + infty}$ - максимально допустимый возраст), и их динамика описывается не "простыми" уравнениями в частных производных, как можно было бы подумать, а интегро-дифференциальные уравнения:

${ Displaystyle partial _ {t} s (t, a) + partial _ {a} s (t, a) = - mu (a) s (a, t) -s (a, t) int _ {0} ^ {a_ {M}} k (a, a_ {1}; t) i (a_ {1}, t) , da_ {1}}$

${ Displaystyle partial _ {t} я (t, a) + partial _ {a} я (t, a) = s (a, t) int _ {0} ^ {a_ {M}} {k (a, a_ {1}; t) i (a_ {1}, t) da_ {1}} - mu (a) i (a, t) - gamma (a) i (a, t)}$

${ displaystyle partial _ {t} r (t, a) + partial _ {a} r (t, a) = - mu (a) r (a, t) + gamma (a) i (a , t)}$

куда:

${ Displaystyle F (a, t, я ( cdot, cdot)) = int _ {0} ^ {a_ {M}} k (a, a_ {1}; t) я (a_ {1}, t) , da_ {1}}$

сила заражения, которая, конечно же, будет зависеть, хоть ядро ​​контакта ${ Displaystyle к (а, а_ {1}; т)}$ о взаимодействиях между возрастами.

Сложность добавляют начальные условия для новорожденных (т.е. при a = 0), которые просты для инфекционных и устраняются:

${ Displaystyle я (т, 0) = г (т, 0) = 0}$

но это нелокально для плотности восприимчивых новорожденных:

${ displaystyle s (t, 0) = int _ {0} ^ {a_ {M}} left ( varphi _ {s} (a) s (a, t) + varphi _ {i} (a ) i (a, t) + varphi _ {r} (a) r (a, t) right) , da}$

куда ${ Displaystyle varphi _ {j} (а), j = s, i, r}$ это плодородие взрослых.

Более того, определяя теперь плотность всего населения ${ Displaystyle п (т, а) = s (т, а) + я (т, а) + г (т, а)}$ получается:

${ Displaystyle partial _ {t} n (t, a) + partial _ {a} n (t, a) = - mu (a) n (a, t)}$

В простейшем случае равной рождаемости в трех эпидемических классах мы имеем, что для достижения демографического равновесия необходимо следующее необходимое и достаточное условие, связывающее рождаемость: ${ displaystyle varphi (.)}$ со смертностью ${ Displaystyle му (а)}$ должен содержать:

${ displaystyle 1 = int _ {0} ^ {a_ {M}} varphi (a) exp left (- int _ {0} ^ {a} { mu (q) dq} right) , da}$

и демографическое равновесие

${ Displaystyle п ^ {*} (а) = С ехр влево (- int _ {0} ^ {а} му (д) , dq вправо),}$

автоматическое обеспечение существования безболезненного решения:

${ displaystyle DFS (a) = (n ^ {*} (a), 0,0).}$

Базовое число воспроизведения можно вычислить как спектральный радиус соответствующего функционального оператора.

Другие соображения в рамках компартментальных моделей эпидемии

Вертикальная передача

В случае некоторых заболеваний, таких как СПИД и гепатит B, потомство инфицированных родителей может родиться инфицированным. Эта передача болезни от матери называется вертикальной передачей. Приток дополнительных членов в инфицированную категорию можно учесть в рамках модели, включив часть новорожденных членов в инфицированный компартмент.^[22]

Векторная передача

Болезни, передающиеся от человека человеку косвенно, например, малярия, передающаяся через комаров, передаются через переносчиков. В этих случаях инфекция передается от человека к насекомому, и модель эпидемии должна включать оба вида, что обычно требует гораздо большего количества компартментов, чем модель прямой передачи.^[22][23]

Другие

Другие случаи, которые, возможно, необходимо учитывать при моделировании эпидемии, включают такие вещи, как следующее:^[22]

• Неоднородное перемешивание
• Переменная заразительность
• Распределения, которые пространственно неоднородны
• Заболевания, вызванные макропаразитами

Детерминированные модели эпидемии в сравнении со стохастическими

Важно подчеркнуть, что представленные здесь детерминированные модели действительны только в случае достаточно больших популяций, и поэтому их следует использовать с осторожностью.^[24]

Если быть более точным, эти модели действительны только в термодинамический предел, где население фактически бесконечно. В стохастических моделях долгосрочное эндемическое равновесие, полученное выше, не выполняется, поскольку существует конечная вероятность того, что количество инфицированных людей в системе упадет ниже одного. В настоящей системе патоген может не размножаться, поскольку ни один хозяин не будет инфицирован. Но в детерминированных моделях среднего поля количество зараженных может принимать реальные, а именно нецелые значения зараженных хостов, а количество хостов в модели может быть меньше единицы, но больше нуля, что позволяет патоген в модели для размножения. Надежность разделенных моделей ограничивается разделенными приложениями.

Одно из возможных расширений моделей среднего поля рассматривает распространение эпидемий в сети на основе концепций теории перколяции.^[25] Стохастические модели эпидемий изучались в разных сетях.^[26][27][28] и совсем недавно применительно к COVID-19 пандемия.^[29]

Смотрите также

• Математическое моделирование в эпидемиологии
• Задача изменяемой площади
• Матрица следующего поколения
• Оценка рисков
• Скорость атаки

Рекомендации

дальнейшее чтение

• Мэй, Роберт М.; Андерсон, Рой М. (1991). Инфекционные болезни человека: динамика и контроль. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  0-19-854040-X.
• Винницкий, Э .; Уайт, Р. Г., ред. (2010). Введение в моделирование инфекционных заболеваний. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. ISBN  978-0-19-856576-5.

внешняя ссылка

• Модель SIR: онлайн-эксперименты с JSXGraph
• «Имитация эпидемии». 3Синий 1Коричневый. 27 марта 2020 г. - через YouTube.